Spectral Theory of Infinite-Area Hyperbolic Surfaces

این متن نظریه طیفی هندسی را در زمینه سطوح بی نهایت ریمان معرفی می کند و گزارشی جامع از جدیدترین تحولات در این زمینه ارائه می دهد. برای ویرایش دوم، زمینه به سطوح عمومی با انتهای هذلولی گسترش یافته است، که یک محیط طبیعی برای توسعه نظریه طیفی فراهم می‌کند و در عین حال مشکلات فنی را به حداقل می‌رساند. تمام مطالب نسخه اول گنجانده شده و به روز شده است و بخش های جدیدی اضافه شده است.

موضوعات پوشش داده شده شامل مقدمه ای بر هندسه سطوح هذلولی، تجزیه و تحلیل حلال لاپلاسین، نظریه پراکندگی، رزونانس ها و قطب های پراکندگی، تابع زتا سلبرگ، فرمول پواسون، توزیع رزونانس ها، مسئله پراکندگی معکوس، نظریه پترسون-سالیوان، و رویکرد دینامیکی به تابع زتا. بخش‌های جدید آخرین پیشرفت‌ها در این زمینه، از جمله شکاف طیفی، مجانبی تشدید نزدیک خط بحرانی، و ثابت‌های هندسی تیز برای مرزهای تشدید را پوشش می‌دهند. فصل جدیدی تکنیک‌های اخیراً توسعه‌یافته برای محاسبه رزونانس را معرفی می‌کند که نتایج و حدس‌های موجود در مورد توزیع تشدید را روشن می‌کند.

نظریه طیفی سطوح هذلولی نقطه‌ی تقاطع برای مناطق مختلف، از جمله فیزیک کوانتومی است. گروه های گسسته، هندسه دیفرانسیل، نظریه اعداد، تحلیل پیچیده و نظریه ارگودیک. این کتاب به عنوان یک منبع ارزشمند برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققان این رشته ها و سایر رشته های مرتبط خواهد بود.

بررسی چاپ اول:

"شرح بسیار واضح و کامل است، و اساساً مستقل است؛ شواهد مفصل است... این کتاب مطالبی را گردآوری می کند که همیشه به راحتی در ادبیات موجود نیست... برای نتیجه گیری، این کتاب مطمئناً در سطحی است که برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققان طیف نسبتاً وسیعی از زمینه ها قابل دسترسی است. (کالین گیلارمو، بررسی های ریاضی، شماره 2008 h)

This text introduces geometric spectral theory in the context of infinite-area Riemann surfaces, providing a comprehensive account of the most recent developments in the field. For the second edition the context has been extended to general surfaces with hyperbolic ends, which provides a natural setting for development of the spectral theory while still keeping technical difficulties to a minimum.  All of the material from the first edition is included and updated, and new sections have been added.

Topics covered include an introduction to the geometry of hyperbolic surfaces, analysis of the resolvent of the Laplacian, scattering theory, resonances and scattering poles, the Selberg zeta function, the Poisson formula, distribution of resonances, the inverse scattering problem, Patterson-Sullivan theory, and the dynamical approach to the zeta function.  The new sections cover the latest developments in the field, including the spectral gap, resonance asymptotics near the critical line, and sharp geometric constants for resonance bounds.  A new chapter introduces recently developed techniques for resonance calculation that illuminate the existing results and conjectures on resonance distribution.

The spectral theory of hyperbolic surfaces is a point of intersection for a great variety of areas, including quantum physics, discrete groups, differential geometry, number theory, complex analysis, and ergodic theory.  This book will serve as a valuable resource for graduate students and researchers from these and other related fields. 

Review of the first edition:

"The exposition is very clear and thorough, and essentially self-contained; the proofs are detailed...The book gathers together some material which is not always easily available in the literature...To conclude, the book is certainly at a level accessible to graduate students and researchers from a rather large range of fields. Clearly, the reader...would certainly benefit greatly from it." (Colin Guillarmou, Mathematical Reviews, Issue 2008 h)