Special Functions: Fractional Calculus and the Pathway for Entropy

از نظر تاریخی، مفهوم آنتروپی در زمینه‌های مفهومی بسیار متمایز ظاهر شد. این کتاب به ارتباط بین آنتروپی، احتمال و دینامیک کسری می پردازد، به عنوان مثال، در اخترفیزیک نوترینوهای خورشیدی از دهه 1970 ظاهر شد (Mathai and Rathie 1975, Mathai and Pederzoli 1977, Mathai and Saxena 1978, Saxena, Mathau, Mathai, 1978. 2010).

مسئله اصلی نوترینوهای خورشیدی، از نظر تجربی و نظری، از طریق کشف نوسانات نوترینو حل شد و اخیراً با آنتروپی درهم تنیدگی نوترینو غنی شده است. برای بازنگری در فیزیک جدید احتمالی نوترینوهای خورشیدی، تجزیه و تحلیل آنتروپی انتشار، با استفاده از آنتروپی بولتزمن، و تجزیه و تحلیل انحراف استاندارد با داده‌های نوترینوی خورشیدی Super-Kamiokande انجام شد. این تجزیه و تحلیل یک سیگنال غیر گاوسی با محتوای هارمونیک را نشان داد. نما هرست با نما مقیاس تابع چگالی احتمال متفاوت است و هم نما هرست و هم نما مقیاس داده های Super-Kamiokande به طور قابل توجهی از مقدار 1/2 انحراف دارند که نشان می دهد آمار پدیده زیربنایی غیرعادی است. در اینجا آزمایش ممکن است راهنمایی در مورد تعمیم نظریه مکانیک آماری بولتزمن ارائه دهد.

برهان های بحث موسوم به بولتزمن-پلانک-انیشتین مربوط به کشف قانون تشعشعات جسم سیاه توسط پلانک به صورت ریاضی و آماری خلاصه می شود و از این بحث تاکید می شود که اجرای معنادار پیچیده "آنتروپی-احتمال-دینامیک" ممکن است دو راه برای توضیح نتایج تحلیل آنتروپی انتشار و تحلیل انحراف معیار

ارائه دهد. یک راه در نظر گرفتن یک فرآیند انتشار غیرعادی است که نیاز به استفاده از معادله انتشار کسری فضا-زمان (گورنفلو و مایناردی) دارد و راه دیگر در نظر گرفتن یک آنتروپی بولتزمن تعمیم یافته با فرض تابع چگالی احتمال قانون توان است. در اینجا چارچوب ریاضی جدیدی که توسط تفکر محض ابداع شده است، ممکن است راهنمایی برای تعمیم مکانیک آماری بولتزمن باشد.

در این کتاب آنتروپی بولتزمن که توسط تسالیس و ماتای ​​تعمیم داده شده است در نظر گرفته شده است. دومی شامل یک پارامتر متغیر است که برای ساخت یک مسیر آنتروپیک که خانواده‌های تراکم‌های نوع 1 بتا، بتا نوع 2 و گاما را پوشش می‌دهد، استفاده می‌شود. به طور مشابه، مسیرهایی برای توزیع های مربوطه و معادلات دیفرانسیل می تواند توسعه یابد. آنتروپی ماتای ​​تحت شرایط مختلف با بازتولید توزیع معروف بولتزمن، توزیع رالی و سایر توزیع‌های مورد استفاده در فیزیک بهینه شده است. خواص اندازه گیری آنتروپی برای آنتروپی تعمیم یافته بررسی می شود. در این فرآیند نقش توابع ویژه فیزیک ریاضی، به ویژه تابع H، برجسته می شود.

Historically, the notion of entropy emerged in conceptually very distinct contexts. This book deals with the connection between entropy, probability, and fractional dynamics as they appeared, for example, in solar neutrino astrophysics since the 1970's (Mathai and Rathie 1975, Mathai and Pederzoli 1977, Mathai and Saxena 1978, Mathai, Saxena, and Haubold 2010).

The original solar neutrino problem, experimentally and theoretically, was resolved through the discovery of neutrino oscillations and was recently enriched by neutrino entanglement entropy. To reconsider possible new physics of solar neutrinos, diffusion entropy analysis, utilizing Boltzmann entropy, and standard deviation analysis was undertaken with Super-Kamiokande solar neutrino data. This analysis revealed a non-Gaussian signal with harmonic content. The Hurst exponent is different from the scaling exponent of the probability density function and both Hurst exponent and scaling exponent of the Super-Kamiokande data deviate considerably from the value of 1/2, which indicates that the statistics of the underlying phenomenon is anomalous. Here experiment may provide guidance about the generalization of theory of Boltzmann statistical mechanics.

Arguments in the so-called Boltzmann-Planck-Einstein discussion related to Planck's discovery of the black-body radiation law are recapitulated mathematically and statistically and emphasize from this discussion is pursued that a meaningful implementation of the complex 'entropy-probability-dynamics' may offer two ways for explaining the results of diffusion entropy analysis and standard deviation

analysis. One way is to consider an anomalous diffusion process that needs to use the fractional space-time diffusion equation (Gorenflo and Mainardi) and the other way is to consider a generalized Boltzmann entropy by assuming a power law probability density function. Here new mathematical framework, invented by sheer thought, may provide guidance for the generalization of Boltzmann statistical mechanics.

In this book Boltzmann entropy, generalized by Tsallis and Mathai, is considered. The second one contains a varying parameter that is used to construct an entropic pathway covering generalized type-1 beta, type-2 beta, and gamma families of densities. Similarly, pathways for respective distributions and differential equations can be developed. Mathai's entropy is optimized under various conditions reproducing the well-known Boltzmann distribution, Raleigh distribution, and other distributions used in physics. Properties of the entropy measure for the generalized entropy are examined. In this process the role of special functions of mathematical physics, particularly the H-function, is highlighted.