Solutions of Nonlinear Schrӧdinger Systems

وجود و ویژگی‌های کیفی راه‌حل‌های غیرمعمول برای برخی از سیستم‌های مهم شردینگر غیرخطی در این پایان‌نامه بررسی شده است. برای یک سیستم شناخته شده ناشی از اپتیک غیرخطی و میعانات بوز-اینشتین (BEC)، در مورد زیر بحرانی، خواص کیفی راه حل های حالت پایه، از جمله محدوده پارامتر بهینه برای وجود، منحصر به فرد بودن و رفتارهای مجانبی، بررسی شده است و نتایج می تواند ابتدا تا حدی به سوالات باز مطرح شده توسط آمبروستی، کلرادو و سیراکوف پاسخ دهد. در مورد بحرانی، یک تحقیق سیستماتیک در مورد راه‌حل‌های حالت پایه، از جمله وجود، عدم وجود، منحصربه‌فرد بودن و پدیده‌های جداسازی فاز پروفایل حد ارائه شده است که به نظر می‌رسد اولین مشارکت برای BEC در مورد بحرانی باشد. علاوه بر این، برخی از پدیده های کاملا متفاوت نیز در یک سیستم انتقادی کلی تر مورد مطالعه قرار گرفتند. برای مسئله شار بحرانی کلاسیک برزیس-نیرنبرگ، برآورد انرژی تیز راه حل های کمترین انرژی در یک توپ در این مطالعه بررسی شده است. در نهایت برای معادلات شردینگر جفت شده خطی آمبروستی با توان بحرانی، نتیجه بهینه در مورد وجود و عدم وجود راه حل های حالت پایه برای ثابت های جفتی مختلف نیز در این پایان نامه به دست آمد. این نتایج کاربردهای زیادی در فیزیک و PDE دارند.

The existence and qualitative properties of nontrivial solutions for some important nonlinear Schrӧdinger systems have been studied in this thesis. For a well-known system arising from nonlinear optics and Bose-Einstein condensates (BEC), in the subcritical case, qualitative properties of ground state solutions, including an optimal parameter range for the existence, the uniqueness and asymptotic behaviors, have been investigated and the results could firstly partially answer open questions raised by Ambrosetti, Colorado and Sirakov. In the critical case, a systematical research on ground state solutions, including the existence, the nonexistence, the uniqueness and the phase separation phenomena of the limit profile has been presented, which seems to be the first contribution for BEC in the critical case. Furthermore, some quite different phenomena were also studied in a more general critical system. For the classical Brezis-Nirenberg critical exponent problem, the sharp energy estimate of least energy solutions in a ball has been investigated in this study. Finally, for Ambrosetti type linearly coupled Schrӧdinger equations with critical exponent, an optimal result on the existence and nonexistence of ground state solutions for different coupling constants was also obtained in this thesis. These results have many applications in Physics and PDEs.