Smooth ergodic theory for endomorphisms

این جلد یک تئوری ارگودیک صاف کلی را برای سیستم‌های دینامیکی قطعی ایجاد شده توسط اندومورفیسم‌های غیرقابل معکوس ارائه می‌کند، که عمدتاً مربوط به روابط بین آنتروپی، توان لیاپانوف و ابعاد است.
نویسندگان از ترکیبی از تکنیک فضای محدود معکوس و تکنیک های توسعه یافته برای مقابله با سیستم های دینامیکی تصادفی. جالب ترین نتایج در این کتاب (1) هم ارزی بین ویژگی SRB و فرمول آنتروپی Pesin است. (2) فرمول آنتروپی Ledrappier-Young تعمیم یافته. (3) ابعاد دقیق برای دیفئومورفیسم‌های ضعیف هذلولی و برای نقشه‌های در حال گسترش. اثبات ابعاد دقیق برای دیفئومورفیسم های ضعیف هذلولی نسبت به باریرا و همکارانش در دسترس تر به نظر می رسد. همچنین نویسندگان را برمی انگیزد تا استدلال کنند که حدس معروف اکمن-روئل و بسیاری دیگر از نتایج کلاسیک برای دیفرمورفیسم ها و جریان ها تا چه اندازه درست است.
پس از مطالعه دقیق کتاب، می توان به طور سیستماتیک نظریه پسین را برای اندومورفیسم ها یاد گرفت. همچنین ترفندهای معمولی در تخمین تعداد توپ‌های دارای ویژگی‌های خاص انجام می‌شود که به طور گسترده در فصل‌های IX و X استفاده می‌شود.

This volume presents a general smooth ergodic theory for deterministic dynamical systems generated by non-invertible endomorphisms, mainly concerning the relations between entropy, Lyapunov exponents and dimensions.
The authors make extensive use of the combination of the inverse limit space technique and the techniques developed to tackle random dynamical systems. The most interesting results in this book are (1) the equivalence between the SRB property and Pesin’s entropy formula; (2) the generalized Ledrappier-Young entropy formula; (3) exact-dimensionality for weakly hyperbolic diffeomorphisms and for expanding maps. The proof of the exact-dimensionality for weakly hyperbolic diffeomorphisms seems more accessible than that of Barreira et al. It also inspires the authors to argue to what extent the famous Eckmann-Ruelle conjecture and many other classical results for diffeomorphisms and for flows hold true.
After a careful reading of the book, one can systematically learn the Pesin theory for endomorphisms as well as the typical tricks played in the estimation of the number of balls of certain properties, which are extensively used in Chapters IX and X.