Singular Semi-Riemannian Geometry

این کتاب توضیحی از "هندسه نیمه ریمانی منفرد" است - مطالعه یک منیفولد صاف با یک تانسور متریک منحط (منفرد) با امضای دلخواه. موضوع اصلی مورد توجه مواردی است که تانسور متریک غیرمنحط فرض می شود. در ادبیات، منیفولدهای با تانسور متریک منحط به صورت بیرونی به عنوان زیرمنیفولدهای منحط منیفولدهای نیمه ریمانی مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. یکی از جنبه های اصلی این کتاب ابتدا بررسی ساختار ذاتی یک منیفولد با یک تانسور متریک منحط و سپس مطالعه بیرونی آن با در نظر گرفتن آن به عنوان زیرمنیفولد منحط یک منیفولد نیمه ریمانی است. این کتاب به سه بخش تقسیم شده است. بخش اول به منیفولدهای نیمه ریمانی منفرد در چهار فصل می پردازد. در فصل اول، جبر خطی فضاهای محصول درونی واقعی نامعین بررسی شده است. به طور کلی، ویژگی‌های میدان‌های تانسوری هندسی خاص، صرفاً از دیدگاه جبری و بدون اشاره به منشأ هندسی آنها به دست می‌آیند. فصل دوم به بررسی عملگرهای مشتق کوواریانت در بسته‌های برداری واقعی اختصاص دارد. فصل سوم قسمت اصلی این کتاب است که در آن، ذاتاً ارتباط کوزول معرفی شده و هویت های انحنای آن به دست آمده است. در فصل چهارم، کاربرد فصل سوم برای انحطاط زیرمنیفولدهای منیفولدهای نیمه ریمانی و معادلات گاوس، کودازی و ریچی به دست آمده است. قسمت دوم به منیفولدهای کاهلر منفرد در چهار فصل موازی با قسمت اول می پردازد.

This book is an exposition of "Singular Semi-Riemannian Geometry"- the study of a smooth manifold furnished with a degenerate (singular) metric tensor of arbitrary signature. The main topic of interest is those cases where the metric tensor is assumed to be nondegenerate. In the literature, manifolds with degenerate metric tensors have been studied extrinsically as degenerate submanifolds of semi­ Riemannian manifolds. One major aspect of this book is first to study the intrinsic structure of a manifold with a degenerate metric tensor and then to study it extrinsically by considering it as a degenerate submanifold of a semi-Riemannian manifold. This book is divided into three parts. Part I deals with singular semi­ Riemannian manifolds in four chapters. In Chapter I, the linear algebra of indefinite real inner product spaces is reviewed. In general, properties of certain geometric tensor fields are obtained purely from the algebraic point of view without referring to their geometric origin. Chapter II is devoted to a review of covariant derivative operators in real vector bundles. Chapter III is the main part of this book where, intrinsically, the Koszul connection is introduced and its curvature identities are obtained. In Chapter IV, an application of Chapter III is made to degenerate submanifolds of semi-Riemannian manifolds and Gauss, Codazzi and Ricci equations are obtained. Part II deals with singular Kahler manifolds in four chapters parallel to Part I.