Singular Nonlinear Partial Differential Equations

هدف این کتاب گردآوری تمامی نتایجی است که در مورد وجود راه حل های صوری، هولومورف و منفرد معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی منفرد شناخته شده است. ما وجود راه‌حل‌های سری توان رسمی، راه‌حل‌های هولومورف، و راه‌حل‌های منفرد معادلات دیفرانسیل جزئی غیرخطی منفرد را مطالعه می‌کنیم. در فصل اول، عملگرهایی با تکینگی های منظم در حالت یک متغیر معرفی می کنیم و یک اثبات ساده جدید از قضیه Maillet کلاسیک برای معادلات دیفرانسیل جبری ارائه می دهیم. در فصل 2، ما این نظریه را به عملگرها در چندین متغیر گسترش می دهیم. فصل 3 با استفاده از روش تکرار و همچنین روش نیوتن به بررسی راه‌حل‌های سری توان رسمی و همگرا یک کلاس از معادلات دیفرانسیل جزئی منفرد با بخش خطی اختصاص دارد. به عنوان کاربرد نتایج قبلی، ما در فصل 4 به نظریه محلی معادلات دیفرانسیل به شکل xy' = 1(x,y) نگاه می کنیم و به طور خاص نشان می دهیم که یافتن نتایج کلاسیک چقدر آسان است. چنین معادله ای زمانی که 1(0,0) = 0 باشد و همچنین مطالعه چنین معادله ای را در زمانی که 1(0,0) #- 0 که قبلا هرگز داده نشده بود و می توان آن را به معادلات به شکل Ty = F(x گسترش داد. ، y) جایی که T یک فیلد برداری دلخواه است.

The aim of this book is to put together all the results that are known about the existence of formal, holomorphic and singular solutions of singular non linear partial differential equations. We study the existence of formal power series solutions, holomorphic solutions, and singular solutions of singular non linear partial differential equations. In the first chapter, we introduce operators with regular singularities in the one variable case and we give a new simple proof of the classical Maillet's theorem for algebraic differential equations. In chapter 2, we extend this theory to operators in several variables. The chapter 3 is devoted to the study of formal and convergent power series solutions of a class of singular partial differential equations having a linear part, using the method of iteration and also Newton's method. As an appli­ cation of the former results, we look in chapter 4 at the local theory of differential equations of the form xy' = 1(x,y) and, in particular, we show how easy it is to find the classical results on such an equation when 1(0,0) = 0 and give also the study of such an equation when 1(0,0) #- 0 which was never given before and can be extended to equations of the form Ty = F(x, y) where T is an arbitrary vector field.