Simplicial methods for operads and algebraic geometry

این کتاب مقدمه‌ای است بر دو مبحث با طبقه‌بندی بالاتر در توپولوژی جبری و هندسه جبری با تکیه بر روش‌های ساده.

سخنرانی‌های Moerdijk مقدمه‌ای مفصل برای مجموعه‌های دندروییدی ارائه می‌دهند. توسط خود و ویس به عنوان پایه ای برای نظریه هموتوپی اپراها معرفی شد. تئوری مجموعه‌های دندروییدی به جای نظم‌های خطی بر پایه درختان استوار است و ویژگی‌های زیادی مشابه نظریه مجموعه‌های ساده دارد، اما پدیده‌های جدیدی را نیز آشکار می‌کند. برای مثال، مجموعه‌های دندروییدی ساختار متقارن متقارن بسته مربوط به محصول تانسور بردمن-وگت اپرادها را می‌پذیرند. یادداشت های سخنرانی با ترکیبیات درختان شروع می شود و با ساختار مدل مناسب در دسته مجموعه های دندرویدی به اوج می رسد. مفاهیم مهم با تصاویر و مثال ها نشان داده شده اند.

مجموعه سخنرانی های توئن هندسه جبری مشتق شده را ارائه می دهد. در حالی که هندسه جبری کلاسیک تابع ها را از دسته حلقه های جابجایی به دسته مجموعه ها مورد مطالعه قرار می دهد، هندسه جبری مشتق شده با تابع هایی از حلقه های جابجایی ساده (برای اجازه دادن به محصولات تانسور مشتق شده) به مجموعه های ساده (برای اجازه دادن به ضرایب مشتق شده) مرتبط است. اشیاء مرکزی پشته های مشتق شده (بالاتر) هستند، که تابع هایی هستند که شرایط نزول تا هموتوپی خاصی را برآورده می کنند. این سخنرانی‌ها مقدمه‌ای مختصر و متمرکز بر این موضوع گسترده ارائه می‌کنند، و بسیاری از نکات فنی را که ادبیات پژوهشی این موضوع را بسیار فراگیر می‌کند، پنهان می‌کند.

هر دو مجموعه سخنرانی، دانش کاری را در نظر می‌گیرند. دسته بندی مدل به معنای کویلن. برای سخنرانی های توئن، پیشینه ای در هندسه جبری نیز لازم است.

</ p>

This book is an introduction to two higher-categorical topics in algebraic topology and algebraic geometry relying on simplicial methods.

Moerdijk’s lectures offer a detailed introduction to dendroidal sets, which were introduced by himself and Weiss as a foundation for the homotopy theory of operads. The theory of dendroidal sets is based on trees instead of linear orders and has many features analogous to the theory of simplicial sets, but it also reveals new phenomena. For example, dendroidal sets admit a closed symmetric monoidal structure related to the Boardman–Vogt tensor product of operads. The lecture notes start with the combinatorics of trees and culminate with a suitable model structure on the category of dendroidal sets. Important concepts are illustrated with pictures and examples.

The lecture series by Toën presents derived algebraic geometry. While classical algebraic geometry studies functors from the category of commutative rings to the category of sets, derived algebraic geometry is concerned with functors from simplicial commutative rings (to allow derived tensor products) to simplicial sets (to allow derived quotients). The central objects are derived (higher) stacks, which are functors satisfying a certain up-to-homotopy descent condition. These lectures provide a concise and focused introduction to this vast subject, glossing over many of the technicalities that make the subject’s research literature so overwhelming.

Both sets of lectures assume a working knowledge of model categories in the sense of Quillen. For Toën’s lectures, some background in algebraic geometry is also necessary.