Shift-invariant Uniform Algebras on Groups

جبرهای تغییرناپذیر، جبرهای یکنواختی با توابع پیوسته هستند که بر روی گروه‌های متصل فشرده تعریف شده‌اند. آنها حاصل توابع تحلیلی تعمیم یافته هستند که تقریباً 50 سال پیش توسط آرنس و سینگر معرفی شده اند و هدف اصلی این کتاب هستند. جبرهای مرتبط با توابع تقریباً تناوبی متغیرهای واقعی و توابع تحلیلی محدود روی دیسک واحد نیز در چارچوب تغییر ناپذیر در نظر گرفته شده و همراه هستند. رویکرد کلی اتخاذ شده منجر به دیدگاه‌های غیر استاندارد، سوالاتی که قبلاً هرگز نپرسیده‌اند و ویژگی‌های غیرمنتظره می‌شود. کتابها عمدتاً بر اساس نتایج اخیر، حتی منتشر نشده، هستند. بیشتر مفاهیم و ایده های اساسی آن در [T2] سرچشمه می گیرد. با این حال، توسعه بیشتر آنها را می توان فقط در قالب مجله یا پیش چاپ یافت. اصطلاحات اساسی و خصوصیات استاندارد جبر یکنواخت در فصل 1 ارائه شده است. جبرهای مرتبط، مانند جبرهای Bourgain، پسوندهای چند جمله ای، و جبرهای حد استقرایی معرفی و مورد بحث قرار می گیرند. در پایان فصل ما اخیراً شرایطی را برای نگاشت بین جبرهای یکنواخت به عنوان یک هم ریختی جبری یافتیم. در فصل 2 ما مبانی، توصیفات و ویژگی‌های استاندارد سه خانواده کلاسیک توابع - p تقریباً توابع تناوبی متغیرهای واقعی، توابع هارمونیک، و توابع H در دایره واحد را ارائه می‌کنیم. بعداً، در فصل 7، به برخی از این خانواده ها باز می گردیم و آنها را به گروه های فشرده دلخواه تعمیم می دهیم. فصل 3 بررسی ویژگی‌های اساسی گروه‌های توپولوژیکی، کاراکترها، گروه‌های دوگانه، توابع و معیارهای روی آن‌ها است. ما همچنین ابزاری را برای مفهوم عاقبت بدنه ضعیف و قوی یک نیمه گروه معرفی می کنیم.

Shift-invariant algebras are uniform algebras of continuous functions de?ned on compactconnectedgroups,thatareinvariantundershiftsbygroupelements. They areoutgrowths of generalized analytic functions, introduced almost ?fty yearsago by Arens and Singer, and are the central object of this book. Associated algebras of almost periodic functions of real variables and of bounded analytic functions on the unit disc are also considered and carried along within the shift-invariant framework. The adopted general approach leads to non-standard perspectives, never-asked-before questions, and unexpected properties. Thebookisbasedmainlyonourquiterecent,someevenunpublished,results. Most of its basic notions and ideas originate in [T2]. Their further development, however, can be found in journal or preprint form only. Basic terminologyand standard properties of uniform algebrasarepresented in Chapter 1. Associated algebras, such as Bourgain algebras, polynomial ext- sions, and inductive limit algebras are introduced and discussed. At the end of the chapter we present recently found conditions for a mapping between uniform algebras to be an algebraic isomorphism. In Chapter 2 we give fundamentals, v- ious descriptions and standard properties of three classical families of functions – p almost periodic functions of real variables, harmonic functions, andH -functions on the unit circle. Later on, in Chapter 7, we return to some of these families and extend them to arbitrary compact groups. Chapter 3 is a survey of basic prop- ties of topological groups, their characters, dual groups, functions and measures on them. We introduce also the instrumental for the sequel notion of weak and strong hull of a semigroup.