Sheaves on Manifolds: With a Short History

Preface......Page v
Contents......Page vii
Introduction......Page 1
A Short History: Les debuts de la theorie des faisceaux by Christian Houzel......Page 7
1.1. Categories and functors......Page 23
1.2. Abelian categories......Page 26
1.3. Categories of complexes......Page 30
1.4. Mapping cones......Page 34
1.5. Triangulated categories......Page 38
1.6. Localization of categories......Page 41
1.7. Derived categories......Page 45
1.8. Derived functors......Page 50
1.9. Double complexes......Page 54
1.10. Bifunctors......Page 56
1.11. Ind-objects and pro-objects......Page 61
1.12. The Mittag-Leffler condition......Page 64
Exercises to Chapter I......Page 69
Notes......Page 81
2.1. Presheaves......Page 83
2.2. Sheaves......Page 85
2.3. Operations on sheaves......Page 90
2.4. Injective, flabby and flat sheaves......Page 98
2.5. Sheaves on locally compact spaces......Page 102
2.6. Cohomology of sheaves......Page 109
2.7. Some vanishing theorems......Page 116
2.8. Cohomology of coverings......Page 123
2.9. Examples of sheaves on real and complex manifolds......Page 125
Exercises to Chapter II......Page 131
Notes......Page 138
Summary......Page 139
3.1. Poincare-Verdier duality......Page 140
3.2. Vanishing theorems on manifolds......Page 149
3.3. Orientation and duality......Page 151
3.4. Cohomologically constructible sheaves......Page 158
3.5. gamma-topology......Page 161
3.6. Kernels......Page 164
3.7. Fourier-Sato transformation......Page 167
Exercises to Chapter III......Page 178
Notes......Page 184
4.1. Normal deformation and normal cones......Page 185
4.2. Specialization......Page 190
4.3. Microlocalization......Page 198
4.4. The functor uhom......Page 201
Exercises to Chapter IV......Page 214
Notes......Page 215
Summary......Page 217
5.1. Equivalent definitions of the micro-support......Page 218
5.2. Propagation......Page 222
5.3. Examples: micro-supports associated with locally closed subsets......Page 226
5.4. Functorial properties of the micro-support......Page 229
5.5. Micro-support of conic sheaves......Page 241
Exercises to Chapter V......Page 245
Notes......Page 247
Summary......Page 249
6.1. The category D^b(X;Omega)......Page 250
6.2. Normal cones in cotangent bundles......Page 258
6.3. Direct images......Page 263
6.4. Microlocalization......Page 268
6.5. Involutivity and propagation......Page 271
6.6. Sheaves in a neighborhood of an involutive manifold......Page 274
6.7. Microlocalization and inverse images......Page 275
Exercises to Chapter VI......Page 279
Notes......Page 281
Summary......Page 283
7.1. Microlocal kernels......Page 284
7.2. Contact transformations for sheaves......Page 289
7.3. Microlocal composition of kernels......Page 293
7.4. Integral transformations for sheaves associated with submanifolds......Page 298
7.5. Pure sheaves......Page 309
Notes......Page 318
Summary......Page 320
8.1. Constructible sheaves on a simplicial complex......Page 321
8.2. Subanalytic sets......Page 327
8.3. Subanalytic isotropic sets and ju-stratifications......Page 328
8.4. R-constructible sheaves......Page 338
8.5. C-constructible sheaves......Page 344
8.6. Nearby-cycle functor and vanishing-cycle functor......Page 350
Exercises to Chapter VIII......Page 356
Notes......Page 358
Summary......Page 360
9.1. Index formula......Page 361
9.2. Subanalytic chains and subanalytic cycles......Page 366
9.3. Lagrangian cycles......Page 373
9.4. Characteristic cycles......Page 377
9.5. Microlocal index formulas......Page 384
9.6. Lefschetz fixed point formula......Page 389
9.7. Constructible functions and Lagrangian cycles......Page 398
Exercises to Chapter IX......Page 406
Notes......Page 409
10.1. t-structures......Page 411
10.2. Perverse sheaves on real manifolds......Page 419
10.3. Perverse sheaves on complex manifolds......Page 426
Exercises to Chapter X......Page 438
Notes......Page 440
Summary......Page 441
11.1. The sheaf O_X......Page 442
11.2. D_x-modules......Page 445
11.3. Holomorphic solutions of D_x-modules......Page 453
11.4. Microlocal study of (9X......Page 459
11.5. Microfunctions......Page 466
Exercises to Chapter XI......Page 471
Notes......Page 474
A.I. Symplectic vector spaces......Page 477
A.2. Homogeneous symplectic manifolds......Page 481
A.3. Inertia index......Page 486
Exercises to the Appendix......Page 493
Notes......Page 495
Bibliography......Page 496
List of notations and conventions......Page 502
Index......Page 509