Shape Optimization by the Homogenization Method

موضوع این کتاب تئوری همگن سازی و کاربردهای آن در طراحی بهینه در تنظیمات رسانایی و الاستیسیته است. هدف آن ارائه گزارشی مستقل از تئوری همگن سازی و توضیح چگونگی کاربرد آن برای حل مسائل طراحی بهینه، از دیدگاه نظری و عددی است. بیشترین کاربرد عملی تار بدست آمده توسط این کتاب، بهینه سازی شکل و توپولوژی در طراحی سازه است، جایی که این رویکرد به عنوان روش همگن سازی شناخته می شود. بهینه‌سازی شکل به معنای یافتن شکل بهینه یک دامنه است که برای مثال، تحت برخی شرایط بارگذاری مشخص (احتمالاً با محدودیت حجم یا وزن) دارای حداکثر رسانایی یا صلبیت باشد. چنین معیاری توسط یک تابع هدف تجسم می یابد و از طریق حل معادله حالت که یک معادله دیفرانسیل جزئی است (مدل سازی رسانایی یا کشش سازه) محاسبه می شود. جدا از مناطقی که بارها اعمال می‌شوند، مرز شکل معمولاً برای پشتیبانی از شرایط مرزی نویمان (به عنوان مثال، شرایط جداسازی یا بدون کشش) فرض می‌شود. در چنین شرایطی، بهینه‌سازی شکل سابقه طولانی دارد و با روش‌های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته است. بنابراین، ادبیات گسترده ای در این زمینه وجود دارد، و ما خواننده را به فهرست کوتاه زیر از کتاب ها و منابع موجود در آن ارجاع می دهیم [39]، [42]، [130]، [135]، [149]، 203]، [220]، [225]، [237]، [245]، [258].

The topic of this book is homogenization theory and its applications to optimal design in the conductivity and elasticity settings. Its purpose is to give a self-contained account of homogenization theory and explain how it applies to solving optimal design problems, from both a theoretical and a numerical point of view. The application of greatest practical interest tar­ geted by this book is shape and topology optimization in structural design, where this approach is known as the homogenization method. Shape optimization amounts to finding the optimal shape of a domain that, for example, would be of maximal conductivity or rigidity under some specified loading conditions (possibly with a volume or weight constraint). Such a criterion is embodied by an objective function and is computed through the solution of astate equation that is a partial differential equa­ tion (modeling the conductivity or the elasticity of the structure). Apart from those areas where the loads are applied, the shape boundary is al­ ways assumed to support Neumann boundary conditions (i. e. , isolating or traction-free conditions). In such a setting, shape optimization has a long history and has been studied by many different methods. There is, therefore, a vast literat ure in this field, and we refer the reader to the following short list of books, and references therein [39], [42], [130], [135], [149], [203], [220], [225], [237], [245], [258].