Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators

تحلیل مجموعه‌ای یک ابزار ضروری برای فرمول‌بندی ریاضی بسیاری از موقعیت‌های زندگی واقعی است، به عنوان مثال، نظریه تعادل در اقتصاد ریاضی. این کار اولین درمان جامع را در قالب کتاب از زیرشاخه نسبتاً جدید بزرگ‌نمایی حداکثر عملگرهای یکنواخت، از جمله چندین نتیجه جدید مهم در این زمینه، ارائه می‌کند. در دهه‌های اخیر، با توسعه بهینه‌سازی غیرهموار، الگوریتم‌های مؤثری برای حل این نوع مسائل، مانند نابرابری‌های متغیر غیرهموار، توسعه یافته‌اند. چندین مورد از این روش‌ها، مانند روش‌های دسته‌ای برای مسائل متغیر، به طور کامل در این کتاب توسعه و تحلیل شده‌اند.

فصل‌های اول مروری مستقل از مفاهیم اساسی و نتایج بنیادی در تحلیل مجموعه‌ای ارائه می‌کنند. از جمله همگرایی مجموعه و تداوم نگاشتهای با ارزش مجموعه همراه با بسیاری از نتایج مهم در تحلیل محدب بی‌بعدی، که منجر به نتایج نقطه ثابت کلاسیک ناشی از Ekeland، Caristi و Kakutani می‌شود. در مرحله بعد، مقدمه‌ای عمیق برای عملگرهای یکنواخت ایجاد می‌شود که بر نتایج مربوط به حداکثر بودن زیردیفرانسیل‌ها و مجموع عملگرهای یکنواخت تأکید می‌کند. با تکیه بر این مطالب پایه، بخش دوم مونوگراف حاوی نتایج جدیدی است (همه آنها در دهه گذشته ایجاد شده اند) در مورد مفهوم بزرگ شدن عملگرهای یکنواخت، با کاربردهایی برای نابرابری های متغیر، روش های نوع بسته، روش های لاگرانژی تقویت شده، و الگوریتم های نقطه نزدیک.

مخاطبان

این کتاب خطاب به ریاضیدانان، مهندسان، اقتصاددانان و محققانی است که علاقه مند به دستیابی به یک پایه ریاضی محکم در موضوعاتی مانند عملگرهای نقطه به مجموعه، نابرابری های متغیر، تئوری تعادل عمومی و بهینه سازی غیر هموار و غیره. شامل تمرین‌ها و مثال‌های گسترده در سراسر متن، چهار فصل اول کتاب همچنین می‌تواند برای یک چهارم دوره در تجزیه و تحلیل مقادیر مجموعه و عملگرهای یکنواخت حداکثر برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی در ریاضیات محض و کاربردی، اقتصاد ریاضی، تحقیق در عملیات و حوزه های مرتبط تنها شرط لازم، علاوه بر حداقل سطح بلوغ ریاضی، برخی از نتایج اولیه توپولوژی عمومی و تجزیه و تحلیل عملکردی است.

Set-valued analysis is an essential tool for the mathematical formulation of many real-life situations, e.g., equilibrium theory in mathematical economics. This work offers the first comprehensive treatment in book form of the fairly new subdiscipline of enlargements of maximal monotone operators, including several important new results in the field. In the last decades, with the development of nonsmooth optimization, effective algorithms have been developed to solve these kinds of problems, such as nonsmooth variational inequalities. Several of these methods, such as bundle methods for variational problems, are fully developed and analyzed in this book.

The first chapters provide a self-contained review of the basic notions and fundamental results in set-valued analysis, including set convergence and continuity of set-valued mappings together with many important results in infinite-dimensional convex analysis, leading to the classical fixed point results due to Ekeland, Caristi and Kakutani. Next, an in-depth introduction to monotone operators is developed, emphasizing results related to maximality of subdifferentials and of sums of monotone operators. Building on this foundational material, the second part of the monograph contains new results (all of them established during the last decade) on the concept of enlargements of monotone operators, with applications to variational inequalities, bundle-type methods, augmented Lagrangian methods, and proximal point algorithms.

Audience

This book is addressed to mathematicians, engineers, economists, and researchers interested in acquiring a solid mathematical foundation in topics such as point-to-set operators, variational inequalities, general equilibrium theory, and nonsmooth optimization, among others. Containing extensive exercises and examples throughout the text, the first four chapters of the book can also be used for a one-quarter course in set-valued analysis and maximal monotone operators for graduate students in pure and applied mathematics, mathematical economics, operations research and related areas. The only requisites, besides a minimum level of mathematical maturity, are some basic results of general topology and functional analysis.