Series in Banach Spaces: Conditional and Unconditional Convergence

مجموعه‌ای از اسکالرها، بردارها یا توابع از جمله اهداف اساسی تحلیل ریاضی هستند. وقتی ترتیب عبارات ثابت است، بررسی یک سری به منزله بررسی توالی مجموع جزئی آن است. در این مورد، نظریه سری ها بخشی از نظریه دنباله ها است که به همگرایی، رفتار مجانبی و غیره آنها می پردازد. ویژگی خاص نظریه سری زمانی خود را نشان می دهد که بازآرایی (جایگشت) اصطلاحات یک سری را در نظر بگیریم. ، که ملاحظات ترکیبی را در مسائل مورد مطالعه به ارمغان می آورد. این پدیده که یک سری عددی می‌تواند مجموع خود را با تغییر ترتیب عبارت‌های آن تغییر دهد، یکی از چشمگیرترین واقعیت‌هایی است که در یک دوره تحلیل دانشگاهی با آن مواجه می‌شویم. کتاب حاضر دقیقاً به این جنبه از تئوری سری‌هایی اختصاص دارد که اصطلاحات آن عناصری از فضاهای Banach (و همچنین سایر فضاهای خطی توپولوژیکی) هستند. این نمایشگاه بر دو مشکل مکمل تمرکز دارد. اولین مورد این است که آن سریال‌ها را در یک فضای معین که همگرا باقی می‌مانند (و دارای مجموع یکسان) برای هر بازآرایی شرایطشان، شخصیت‌پردازی می‌کنند. چنین سری هایی معمولاً نامشروط همگرا نامیده می شوند. مشکل دوم این است که وقتی یک سری فقط برای بازآرایی‌های معینی از عباراتش همگرا می‌شود (به عبارت دیگر، به‌طور مشروط همگرا می‌شود)، برای توصیف محدوده مجموع آن، یعنی مجموعه‌ای از مجموع همه بازآرایی‌های همگرای آن.

Series of scalars, vectors, or functions are among the fundamental objects of mathematical analysis. When the arrangement of the terms is fixed, investigating a series amounts to investigating the sequence of its partial sums. In this case the theory of series is a part of the theory of sequences, which deals with their convergence, asymptotic behavior, etc. The specific character of the theory of series manifests itself when one considers rearrangements (permutations) of the terms of a series, which brings combinatorial considerations into the problems studied. The phenomenon that a numerical series can change its sum when the order of its terms is changed is one of the most impressive facts encountered in a university analysis course. The present book is devoted precisely to this aspect of the theory of series whose terms are elements of Banach (as well as other topological linear) spaces. The exposition focuses on two complementary problems. The first is to char­ acterize those series in a given space that remain convergent (and have the same sum) for any rearrangement of their terms; such series are usually called uncon­ ditionally convergent. The second problem is, when a series converges only for certain rearrangements of its terms (in other words, converges conditionally), to describe its sum range, i.e., the set of sums of all its convergent rearrangements.