Serial Rings

موضوع اصلی در نظریه حلقه کلاسیک، نظریه ساختار حلقه‌ها از نوع خاصی است. به عنوان مثال، هیچ کتاب درسی در تئوری حلقه نمی تواند قضیه Wedderburn-Artin را از دست بدهد، که می گوید یک حلقه R نیمه ساده است. این نمونه ای از شرایط تناهی است که حداقل از نظر تاریخی در نظریه حلقه غالب بوده است. اگر بخواهیم یک الزام از نوع شبکه ای-نظری را به غیر از آرتینی یا نوتری بودن در نظر بگیریم، طبیعی ترین آن تک سری بودن است. در اینجا یک ماژول M تک سریال نامیده می شود اگر شبکه زیر ماژول های آن یک زنجیره باشد و یک حلقه R تک سریال است اگر RR و RR هر دو ماژول های تک سریال باشند. کلاس حلقه‌های تک سریالی شامل حلقه‌های ارزش‌گذاری جابه‌جایی و بسته‌شده تحت تصاویر همومورفیک است. اما نه با مبالغ مستقیم و نه با توجه به معادل موریتا بسته نمی‌شود: حلقه ماتریسی روی حلقه تک‌سریالی، تک سریالی نیست. دسته‌ای از حلقه‌ها وجود دارند که بسیار نزدیک به یک سری هستند، اما تحت ساختارهایی که ذکر شد بسته می‌شوند: حلقه‌های سریال. یک حلقه R سریال نامیده می شود اگر RR و RR یک مجموع مستقیم (الزام محدود) از ماژول های تک سریال باشد. در میان سایر موارد، این کلاس شامل حلقه های ماتریس مثلثی بر روی یک میدان کج است. همچنین اگر F یک میدان متناهی از مشخصه p باشد و G یک گروه محدود با یک زیرگروه p-Sylow نرمال چرخه‌ای باشد، حلقه گروه FG سریال است.

The main theme in classical ring theory is the structure theory of rings of a particular kind. For example, no one text book in ring theory could miss the Wedderburn-Artin theorem, which says that a ring R is semisimple Artinian iffR is isomorphic to a finite direct sum of full matrix rings over skew fields. This is an example of a finiteness condition which, at least historically, has dominated in ring theory. Ifwe would like to consider a requirement of a lattice-theoretical type, other than being Artinian or Noetherian, the most natural is uni-seriality. Here a module M is called uni-serial if its lattice of submodules is a chain, and a ring R is uni-serial if both RR and RR are uni-serial modules. The class of uni-serial rings includes commutative valuation rings and closed under homomorphic images. But it is not closed under direct sums nor with respect to Morita equivalence: a matrix ring over a uni-serial ring is not uni-serial. There is a class of rings which is very close to uni-serial but closed under the constructions just mentioned: serial rings. A ring R is called serial if RR and RR is a direct sum (necessarily finite) of uni-serial modules. Amongst others this class includes triangular matrix rings over a skew field. Also if F is a finite field of characteristic p and G is a finite group with a cyclic normal p-Sylow subgroup, then the group ring FG is serial.