Semigroups in Geometrical Function Theory

از نظر تاریخی، تحلیل پیچیده و نظریه توابع هندسی از ابتدای قرن بیستم به شدت توسعه یافته است. آنها پایه های حوزه های وسیعی از ریاضیات را فراهم می کنند. در پنجاه سال گذشته، نظریه نگاشت هولومورفیک در فضاهای پیچیده توسط ریاضیدانان زیادی با کاربردهای فراوان در تحلیل غیرخطی، تحلیل تابعی، معادلات دیفرانسیل، مکانیک کلاسیک و کوانتومی مورد مطالعه قرار گرفته است. قوانین دینامیک معمولاً به عنوان معادلات حرکت ارائه می شوند که به شکل انتزاعی یک سیستم دینامیک نوشته می شوند: dx / dt + f (x) = 0، که در آن x متغیری است که وضعیت سیستم مورد مطالعه را توصیف می کند، و f یک تابع برداری از x است. مطالعه چنین سیستم هایی هنگامی که f یک عملگر یکنواخت یا یک اپراتور انباشته (عموماً غیرخطی) در فضای زیرین است، اخیراً موضوع تحقیقات زیادی توسط تحلیلگرانی بوده است که بر روی موضوعات جالب بسیار متنوعی کار می کنند، از جمله مسائل ارزش مرزی، معادلات انتگرال و مشکلات تکاملی (برای مثال، [19، 13] و [29] را ببینید). در توسعه موازی (و حتی قبل از آن) نظریه تولید نیمه گروه های یک پارامتری از نگاشت های هولومورفیک در en موضوع مورد علاقه در نظریه فرآیندهای تصادفی مارکوف و به ویژه در تئوری فرآیندهای انشعاب بوده است (برای مثال نگاه کنید به ، [63، 127، 48] و [69]).

Historically, complex analysis and geometrical function theory have been inten­ sively developed from the beginning of the twentieth century. They provide the foundations for broad areas of mathematics. In the last fifty years the theory of holomorphic mappings on complex spaces has been studied by many mathemati­ cians with many applications to nonlinear analysis, functional analysis, differential equations, classical and quantum mechanics. The laws of dynamics are usually presented as equations of motion which are written in the abstract form of a dy­ namical system: dx / dt + f ( x) = 0, where x is a variable describing the state of the system under study, and f is a vector function of x. The study of such systems when f is a monotone or an accretive (generally nonlinear) operator on the under­ lying space has been recently the subject of much research by analysts working on quite a variety of interesting topics, including boundary value problems, integral equations and evolution problems (see, for example, [19, 13] and [29]). In a parallel development (and even earlier) the generation theory of one­ parameter semigroups of holomorphic mappings in en has been the topic of interest in the theory of Markov stochastic processes and, in particular, in the theory of branching processes (see, for example, [63, 127, 48] and [69]).