Semidynamical Systems in Infinite Dimensional Spaces

راه‌حل‌ها به کجا می‌روند، و چگونه در مسیر رفتار می‌کنند؟ اینها دو مورد از سؤالات اصلی هستند که نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل به آنها پرداخته است. هدف این کتاب پاسخ به این سؤالات برای کلاس های معینی از معادلات با توسل به چارچوب سیستم های نیمه دینامیکی (یا دینامیک توپولوژیکی که گاهی اوقات نامیده می شود) است. این رویکرد امکان درمان طیف به ظاهر گسترده ای از معادلات از معادلات دیفرانسیل معمولی غیرخودمختار و معادلات دیفرانسیل جزئی تا معادلات دیفرانسیل تصادفی را ممکن می سازد. اگرچه روش‌ها به مثال‌های ارائه‌شده در اینجا محدود نمی‌شوند. ایده اصلی این است: مقداری نمایش از راه حل های معادله (و شاید خود معادله) را در یک فضای تابع مناسب جاسازی کنید. این فضا به عنوان فضای فاز برای سیستم نیمه دینامیکی عمل می کند. نقشه فاز باید به گونه ای انتخاب شود که از یک مقدار اولیه راه حل های معادله را تولید کند. در بیشتر موارد لازم است یک توپولوژی \"ضعیف\" در فضای فاز ارائه شود. به طور معمول فضا بی‌بعد است. این ملاحظات نیاز به مطالعه سیستم های نیمه دینامیکی در فضاهای غیر فشرده محلی را تحریک می کند. هدف ما در اینجا ارائه تنها نتایج مورد نیاز برای انواع کاربردهایی است که احتمالاً در معادلات دیفرانسیل با آنها مواجه می شویم. ویژگی ها و بسط های اضافی سیستم های نیمه دینامیکی انتزاعی به عنوان تمرین باقی مانده است. قدرت چارچوب نیمه دینامیکی این امکان را فراهم می‌کند که رفتار مجانبی حل‌های چنین کلاس وسیعی از معادلات را در مقدمه بیان کنیم.

Where do solutions go, and how do they behave en route? These are two of the major questions addressed by the qualita­ tive theory of differential equations. The purpose of this book is to answer these questions for certain classes of equa­ tions by recourse to the framework of semidynamical systems (or topological dynamics as it is sometimes called). This approach makes it possible to treat a seemingly broad range of equations from nonautonomous ordinary differential equa­ tions and partial differential equations to stochastic differ­ ential equations. The methods are not limited to the examples presented here, though. The basic idea is this: Embed some representation of the solutions of the equation (and perhaps the equation itself) in an appropriate function space. This space serves as the phase space for the semidynamical system. The phase map must be chosen so as to generate solutions to the equation from an initial value. In most instances it is necessary to provide a "weak" topology on the phase space. Typically the space is infinite dimensional. These considerations motivate the requirement to study semidynamical systems in non locally compact spaces. Our objective here is to present only those results needed for the kinds of applications one is likely to encounter in differen­ tial equations. Additional properties and extensions of ab­ stract semidynamical systems are left as exercises. The power of the semidynamical framework makes it possible to character- Preface ize the asymptotic behavior of the solutions of such a wide class of equations.