Self-adjoint Extensions in Quantum Mechanics: General Theory and Applications to Schrödinger and Dirac Equations with Singular Potentials

کوانتیزه کردن سیستم‌های فیزیکی مستلزم تعریف صحیحی از مشاهده‌پذیرهای مکانیکی کوانتومی، مانند همیلتونین، تکانه و غیره، به عنوان عملگرهای خود الحاقی در فضاهای هیلبرت مناسب و تحلیل طیفی آنها است. اگرچه یک روش ساده برای مقابله با چنین مشکلاتی وجود دارد، اما بر اساس جبر محدود بعدی یا حتی جبر بی‌بعدی با عملگرهای محدود است که منجر به پارادوکس‌ها و نادرستی‌ها می‌شود. درمان مناسب این مشکلات مستلزم استناد به مفاهیم و قضایای غیر پیش پا افتاده از تحلیل تابعی در مورد نظریه عملگرهای خود الحاقی نامحدود و نظریه بسط های خود الحاقی عملگرهای متقارن است.

خود الحاقی. برنامه های افزودنی در مکانیک کوانتومیبا در نظر گرفتن مشکلات کوانتیشن به طور کلی آغاز می شود، و با تأکید بر بی اهمیت بودن ساخت اپراتور سازگار با ارائه پارادوکس های رفتار ساده شروع می شود. پس‌زمینه ریاضی لازم پس از آن با توسعه نظریه پسوندهای خود الحاقی ساخته می‌شود. از طریق بررسی سیستم‌های مکانیکی کوانتومی مختلف، نویسندگان نشان می‌دهند که چگونه مسائل کوانتیزه‌سازی مرتبط با تعریف صحیح قابل مشاهده‌ها و تحلیل طیفی آن‌ها را می‌توان به طور مداوم برای سیستم‌های مکانیکی کوانتومی نسبتاً ساده بررسی کرد. سیستم‌هایی که مورد بررسی قرار می‌گیرند شامل ذرات آزاد در یک بازه، ذرات در تعدادی از میدان‌های بالقوه از جمله پتانسیل‌های دلتا مانند، مسئله تک‌بعدی کالوژرو، مسئله آهارونوف-بوهم، و مسئله کولن نسبیتی هستند.

این متن به خوبی سازماندهی شده برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و فارغ التحصیلان علاقه مند به تعمیق درک خود از مسائل ریاضی در مکانیک کوانتومی فراتر از محدوده مواردی است که در کتاب های درسی استاندارد ارائه می شود، مناسب است. این کتاب همچنین ممکن است به عنوان منبع مفیدی برای ریاضیدانان و محققان فیزیک نظری و ریاضی باشد.

Quantization of physical systems requires a correct definition of quantum-mechanical observables, such as the Hamiltonian, momentum, etc., as self-adjoint operators in appropriate Hilbert spaces and their spectral analysis. Though a “naïve” treatment exists for dealing with such problems, it is based on finite-dimensional algebra or even infinite-dimensional algebra with bounded operators, resulting in paradoxes and inaccuracies. A proper treatment of these problems requires invoking certain nontrivial notions and theorems from functional analysis concerning the theory of unbounded self-adjoint operators and the theory of self-adjoint extensions of symmetric operators.

Self-adjoint Extensions in Quantum Mechanics begins by considering quantization problems in general, emphasizing the nontriviality of consistent operator construction by presenting paradoxes of the naïve treatment. The necessary mathematical background is then built by developing the theory of self-adjoint extensions. Through examination of various quantum-mechanical systems, the authors show how quantization problems associated with the correct definition of observables and their spectral analysis can be treated consistently for comparatively simple quantum-mechanical systems. Systems that are examined include free particles on an interval, particles in a number of potential fields including delta-like potentials, the one-dimensional Calogero problem, the Aharonov–Bohm problem, and the relativistic Coulomb problem.

This well-organized text is most suitable for graduate students and postgraduates interested in deepening their understanding of mathematical problems in quantum mechanics beyond the scope of those treated in standard textbooks. The book may also serve as a useful resource for mathematicians and researchers in mathematical and theoretical physics.