Selected Unsolved Problems in Coding Theory

این کتاب با استفاده از یک حالت اصلی ارائه و تأکید بر ماهیت محاسباتی موضوع، تعدادی از مسائل حل نشده را که همچنان در نظریه کدگذاری وجود دارند، بررسی می‌کند. تئوری کدهای تصحیح خطا، یکی از شاخه‌های تثبیت‌شده و همچنان بسیار مرتبط از ریاضیات، به انتقال مطمئن داده‌ها از طریق یک کانال نویزدار مربوط می‌شود. علیرغم استفاده مکرر از آن در طیف وسیعی از زمینه ها - اولین عکس های نزدیک از سطح مریخ که توسط فضاپیمای ناسا مارینر 9 گرفته شده بود، با استفاده از کد رید-مولر به زمین منتقل شد - این موضوع حاوی مشکلات جالبی است که باید راه حلی که برخی از برجسته ترین ریاضیدانان دهه های اخیر در برابر تاریخ مقاومت کرده اند.

با استفاده از SAGE - یک سیستم نرم افزاری رایگان ریاضیات منبع باز - برای نشان دادن ایده های خود، نویسندگان با ارائه پیش زمینه ای در مورد کدهای بلوک خطی و معرفی شروع می کنند. برخی از خانواده‌های خاص کدها که در فصل‌های بعدی بررسی شدند، مانند پسماندهای درجه دوم و کدهای جبری-هندسی. همچنین این نظریه بررسی شده است که کدهای خود دوگانه، شبکه‌ها و نظریه ثابت را قطع می‌کند، که منجر به یک قیاس جالب بین تابع زتا Duursma و تابع زتا متصل به منحنی جبری در یک میدان محدود می‌شود. نویسندگان سپس ارتباط بین تئوری طرح‌های بلوک و قضیه آسموس-ماتسون را بررسی می‌کنند و مسئله گره‌دار یافتن یک تخمین بی‌اهمیت برای تعداد راه‌حل‌ها در یک میدان محدود برای یک معادله چند جمله‌ای فرابیضوی \"کوچک\" را بررسی می‌کنند. درجه، و همچنین بهترین کران مجانبی برای یک کد بلوک خطی باینری. در نهایت، برخی از جنبه‌های مرموزتر مربوط به فرم‌های مدولار و کدهای جبری-هندسی مورد بحث قرار می‌گیرند.

مسائل حل‌نشده منتخب در نظریه کدگذاری برای دانشجویان فارغ‌التحصیل و محققان در نظریه کدگذاری جبری در نظر گرفته شده است. ، به ویژه کسانی که علاقه مند به یافتن مشکلات حل نشده فعلی هستند. آشنایی با مفاهیم جبر، نظریه اعداد و اشکال مدولار فرض شده است. این کار ممکن است به عنوان مطالب خواندنی تکمیلی در دوره تحصیلات تکمیلی در تئوری کدنویسی یا برای مطالعه شخصی استفاده شود.

Using an original mode of presentation and emphasizing the computational nature of the subject, this book explores a number of the unsolved problems that continue to exist in coding theory. A well-established and still highly relevant branch of mathematics, the theory of error-correcting codes is concerned with reliably transmitting data over a ‘noisy’ channel. Despite its frequent use in a range of contexts—the first close-up pictures of the surface of Mars, taken by the NASA spacecraft Mariner 9, were transmitted back to Earth using a Reed–Muller code—the subject contains interesting problems that have to date resisted solution by some of the most prominent mathematicians of recent decades.

Employing SAGE—a free open-source mathematics software system—to illustrate their ideas, the authors begin by providing background on linear block codes and introducing some of the special families of codes explored in later chapters, such as quadratic residue and algebraic-geometric codes. Also surveyed is the theory that intersects self-dual codes, lattices, and invariant theory, which leads to an intriguing analogy between the Duursma zeta function and the zeta function attached to an algebraic curve over a finite field. The authors then examine a connection between the theory of block designs and the Assmus–Mattson theorem and scrutinize the knotty problem of finding a non-trivial estimate for the number of solutions over a finite field to a hyperelliptic polynomial equation of "small" degree, as well as the best asymptotic bounds for a binary linear block code. Finally, some of the more mysterious aspects relating modular forms and algebraic-geometric codes are discussed.

Selected Unsolved Problems in Coding Theory is intended for graduate students and researchers in algebraic coding theory, especially those who are interested in finding current unsolved problems. Familiarity with concepts in algebra, number theory, and modular forms is assumed. The work may be used as supplementary reading material in a graduate course on coding theory or for self-study.