Selected Chapters in the Calculus of Variations

0.1 مقدمه این یادداشت‌های سخنرانی تحول جدیدی را در حساب تغییرات توصیف می‌کنند که به آن نظریه Aubry-Mather-تئوری می‌گویند. نقطه شروع برای فیزیکدان نظری اوبری مدلی برای توصیف حرکت الکترون ها در یک کریستال دو بعدی بود. اوبری یک مسئله تغییرات گسسته مرتبط و حداقل راه حل های مربوطه را بررسی کرد. از سوی دیگر، Mather با یک کلاس خاص از نگاشت حلقوی حفظ منطقه، به اصطلاح نقشه های پیچشی یکنواخت، شروع به کار کرد. این نقشه ها در مکانیک به صورت نقشه های پوانکر ظاهر می شوند. چنین نقشه هایی توسط Birkhoff در طول دهه 1920 در چندین مقاله مورد مطالعه قرار گرفت. در سال 1982، Mather موفق شد پیشرفت اساسی در این زمینه داشته باشد و وجود یک کلاس از زیر مجموعه های ثابت بسته را ثابت کند که امروزه مجموعه های Mather نامیده می شوند. قضیه وجودی او دوباره بر اساس یک اصل متغیر است. اگرچه این دو تحقیق انگیزه های متفاوتی دارند، اما ارتباط نزدیکی با هم دارند و پایه ریاضی یکسانی دارند. ما از این رویکردهای کاربردی پیروی نخواهیم کرد، اما با نتایج کلاسیک Jacobi، Legendre، Weier strass و دیگران از قرن 19 ارتباط برقرار خواهیم کرد. بنابراین در فصل اول، نتایج تئوری کلاسیک را که برای ما مهم‌ترین هستند، گرد هم می‌آوریم. مفهوم میدان های افراطی بیشتر مرتبط خواهد بود. در فصل دوم به بررسی مشکلات تغییرات روی چنبره دو بعدی خواهیم پرداخت. ما به حداقل های جهانی مربوطه و همچنین به رابطه بین حداقل ها و میدان های اکسترمال نگاه خواهیم کرد. به این ترتیب ما به مجموعه های Mather هدایت می شویم.

0.1 Introduction These lecture notes describe a new development in the calculus of variations which is called Aubry-Mather-Theory. The starting point for the theoretical physicist Aubry was a model for the descrip­ tion of the motion of electrons in a two-dimensional crystal. Aubry investigated a related discrete variational problem and the corresponding minimal solutions. On the other hand, Mather started with a specific class of area-preserving annulus mappings, the so-called monotone twist maps. These maps appear in mechanics as Poincare maps. Such maps were studied by Birkhoff during the 1920s in several papers. In 1982, Mather succeeded to make essential progress in this field and to prove the existence of a class of closed invariant subsets which are now called Mather sets. His existence theorem is based again on a variational principle. Although these two investigations have different motivations, they are closely re­ lated and have the same mathematical foundation. We will not follow those ap­ proaches but will make a connection to classical results of Jacobi, Legendre, Weier­ strass and others from the 19th century. Therefore in Chapter I, we will put together the results of the classical theory which are the most important for us. The notion of extremal fields will be most relevant. In Chapter II we will investigate variational problems on the 2-dimensional torus. We will look at the corresponding global minimals as well as at the relation be­ tween minimals and extremal fields. In this way, we will be led to Mather sets.