Riemannian Geometry

در این ویرایش دوم، اضافات اصلی بخش اختصاص یافته به سطوح با انحنای منفی ثابت، و مقدمه‌ای بر هندسه منسجم است. همچنین، ما یک اثبات نرم از نابرابری ایزوپریمتری پل لوی-گروموف ارائه می کنیم که با مهربانی توسط G. Besson ارتباط برقرار کرده است. چند نفر به ما کمک کردند تا اشکالات را در آن پیدا کنیم. چاپ اول آنها مسئول اصرارها نیستند! در میان آنها، ما به ویژه از پیر آرنو و استفانو مارکیافاوا تشکر می کنیم. ما همچنین به خاطر نظرات و پیشنهادات ارزشمند خود مدیون مارک ترویانوف هستیم. مقدمه این کتاب حاصل سخنرانی های فارغ التحصیلی است که توسط ما دو نفر در پاریس ارائه شده است. ما فرض می کنیم که خواننده قبلاً کمی در مورد منیفولدهای دیفرانسیل شنیده است. در برخی نقاط بسیار دقیق، ما همچنین از واژگان پایه نظریه بازنمایی یا برخی مفاهیم ابتدایی در مورد هموتوپی استفاده می کنیم. گاه و بیگاه، برخی از اظهارات و نظرات از نظریه های مفصل تری استفاده می کنند. چنین معابر بین * درج می شود. در اکثر کتاب های درسی هندسه ریمانی، نقطه شروع، نظریه محلی سطوح تعبیه شده است. در اینجا مستقیماً با منیفولدهای به اصطلاح \"انتزاعی\" شروع می کنیم. برای نشان دادن دیدگاه ما، هر بار که یک تعریف یا قضیه جدید رخ می دهد، یک سری مثال ایجاد می شود. بنابراین، خواننده با مطالعه مکرر دقیق کره‌ها، توری‌ها، فضاهای تصویری واقعی و پیچیده، و گروه‌های Lie فشرده مجهز به معیارهای دو متغیر مواجه خواهد شد. توجه داشته باشید که همه این مثال‌ها، اگرچه بسیار رایج هستند، اما به آسانی قابل درک نیستند (به جز نمونه اول) به اندازه زیرمنیفولدهای ریمانی فضاهای اقلیدسی.

In this second edition, the main additions are a section devoted to surfaces with constant negative curvature, and an introduction to conformal geometry. Also, we present a -soft-proof of the Paul Levy-Gromov isoperimetric inequal­ ity, kindly communicated by G. Besson. Several people helped us to find bugs in the. first edition. They are not responsible for the persisting ones! Among them, we particularly thank Pierre Arnoux and Stefano Marchiafava. We are also indebted to Marc Troyanov for valuable comments and sugges­ tions. INTRODUCTION This book is an outgrowth of graduate lectures given by two of us in Paris. We assume that the reader has already heard a little about differential manifolds. At some very precise points, we also use the basic vocabulary of representation theory, or some elementary notions about homotopy. Now and then, some remarks and comments use more elaborate theories. Such passages are inserted between *. In most textbooks about Riemannian geometry, the starting point is the local theory of embedded surfaces. Here we begin directly with the so-called "abstract" manifolds. To illustrate our point of view, a series of examples is developed each time a new definition or theorem occurs. Thus, the reader will meet a detailed recurrent study of spheres, tori, real and complex projective spaces, and compact Lie groups equipped with bi-invariant metrics. Notice that all these examples, although very common, are not so easy to realize (except the first) as Riemannian submanifolds of Euclidean spaces.