Riemann Surfaces and Generalized Theta Functions

بررسی روابط بین سطوح فشرده ریمان (منحنی‌های جبری) و توری پیچیده مرتبط با آنها (انواع ژاکوبی) مدت‌هاست که برای مطالعه سطوح ریمان و توری پیچیده پایه‌ای بوده است. یک سطح ریمان به طور طبیعی به عنوان یک زیرمنیفولد تحلیلی در چنبره مرتبط با آن تعبیه شده است. و فضاهای مختلف از هم ارزی خطی مقسوم‌گیرنده‌ها روی سطح (یا به‌طور معادل فضاهای هم ارزی تحلیلی باندهای خط پیچیده روی سطح)، که بر اساس ابعاد سری‌های خطی مرتبط (یا ابعاد فضاهای متقاطع تحلیلی) الاستیک شده‌اند. بخش ها)، به طور طبیعی به عنوان زیرشاخه های تحلیلی چنبره مرتبط تحقق می یابند. یکی از پربارترین رویکردهای الاستیک به این تحقیق از طریق توابع تتا بوده است. فضای هم ارزی خطی مقسوم‌گیرنده‌های مثبت مرتبه g-1 بر روی سطح M فشرده ریمان متصل از جنس g توسط یک زیر تنوع تحلیلی-بعدی تقلیل‌ناپذیر (g-1)، یک ابرسطح تقلیل‌ناپذیر، از کمپلکس G بعدی مرتبط محقق می‌شود. توروس J(M); این سطح فوق 1 W-r;;;، J(M) تصویری از نقشه برداری طبیعی Mg- -+J(M) است و g 1 1 به صورت دو طرفه معادل محصول متقارن (g -1) برابر Mg است. - jSg-l از سطح ریمان M.

The investigation of the relationships between compact Riemann surfaces (al­ gebraic curves) and their associated complex tori (Jacobi varieties) has long been basic to the study both of Riemann surfaces and of complex tori. A Riemann surface is naturally imbedded as an analytic submanifold in its associated torus; and various spaces of linear equivalence elasses of divisors on the surface (or equivalently spaces of analytic equivalence elasses of complex line bundies over the surface), elassified according to the dimensions of the associated linear series (or the dimensions of the spaces of analytic cross-sections), are naturally realized as analytic subvarieties of the associated torus. One of the most fruitful of the elassical approaches to this investigation has been by way of theta functions. The space of linear equivalence elasses of positive divisors of order g -1 on a compact connected Riemann surface M of genus g is realized by an irreducible (g -1)-dimensional analytic subvariety, an irreducible hypersurface, of the associated g-dimensional complex torus J(M); this hyper­ 1 surface W- r;;;, J(M) is the image of the natural mapping Mg- -+J(M), and is g 1 1 birationally equivalent to the (g -1)-fold symmetric product Mg- jSg-l of the Riemann surface M.