Resolution of Curve and Surface Singularities: in Characteristic Zero

منحنی‌ها دیدگاه مکس نوتر احتمالاً قدیمی‌ترین اشاره‌ها به مسئله تفکیک تکینگی‌ها در آثار ماکس نوتر در مورد منحنی‌های صفحه یافت می‌شود [ر.ک. [148]، [149]]. و احتمالاً منشأ مشکل داشتن فرمولی برای محاسبه جنس یک منحنی مسطح بوده است. این جنس مفیدترین متغیر دوتایی یک منحنی در هندسه تصویری کلاسیک است. مدت‌ها مشخص بود که برای یک منحنی صفحه‌ای با درجه n که دارای lm نقاط مفرد معمولی با کثرت‌های مربوطه است ri, i E {1, . . . ، m}، جنس p منحنی با فرمول = (n - l) (n - 2) _ ~ \"r. (r. _ 1) P 2 2 L. ,. •• . البته، اکنون مشکل پیش می‌آید: چگونه می‌توان جنس یک منحنی مسطح را که دارای تکینگی‌های غیر معمولی است محاسبه کرد. این منجر به این سؤال طبیعی می‌شود: آیا می‌توانیم هر منحنی صفحه‌ای (مفرد) را به صورت دو طرفه به منحنی دیگری که فقط تکینگی‌های معمولی دارد، تبدیل کنیم؟ مثبت است اجازه دهید یک طعم (بدون اثبات) 2 در مورد اینکه نوتر چگونه این کار را انجام داده است بپردازیم. سیستم مخروطی با سه نقطه پایه غیر خطی r = {Ao, AI, A }, 2 و یک قاب تصویری از نوع {Ao, AI, A ; U} بگیرید.

The Curves The Point of View of Max Noether Probably the oldest references to the problem of resolution of singularities are found in Max Noether's works on plane curves [cf. [148], [149]]. And probably the origin of the problem was to have a formula to compute the genus of a plane curve. The genus is the most useful birational invariant of a curve in classical projective geometry. It was long known that, for a plane curve of degree n having l m ordinary singular points with respective multiplicities ri, i E {1, . . . , m}, the genus p of the curve is given by the formula = (n - l)(n - 2) _ ~ "r. (r. _ 1) P 2 2 L. . ,. •• . Of course, the problem now arises: how to compute the genus of a plane curve having some non-ordinary singularities. This leads to the natural question: can we birationally transform any (singular) plane curve into another one having only ordinary singularities? The answer is positive. Let us give a flavor (without proofs) 2 on how Noether did it • To solve the problem, it is enough to consider a special kind of Cremona trans­ formations, namely quadratic transformations of the projective plane. Let ~ be a linear system of conics with three non-collinear base points r = {Ao, AI, A }, 2 and take a projective frame of the type {Ao, AI, A ; U}.