Representation Theory: A Homological Algebra Point of View

این کتاب با معرفی تئوری بازنمایی گروه‌ها و جبرهای با ابعاد محدود، ابتدا با مطالعه نظریه حلقه‌های غیرتعویض پایه، پیش‌زمینه‌های لازم را در مورد جبر همسانی ابتدایی و نمایش گروه‌ها تا نظریه بلوک را پوشش می‌دهد. این مقاله بیشتر در مورد رئوس، گروه های نقص، مکاتبات گرین و برائر و نظریه کلیفورد بحث می کند. در صورت امکان، عبارات در یک محیط کلی برای جبرهای عمومی تر، مانند جبرهای متقارن بعد محدود در یک میدان، ارائه می شوند. برای توضیح دسته‌های ماژول پایدار، و همچنین دسته‌های مشتق شده و متغیرهای اصلی آنها و پیوندهای بین آنها استفاده می‌شود. کاربردهای نظری گروهی این نظریه ها - مانند ساختار بلوک های گروه های نقص چرخه ای - هر زمان که مناسب باشد ارائه می شود. به طور کلی، روش‌های زیادی از نظریه نمایش جبرها معرفی شده‌اند.

نظریه بازنمایی تنها پایه‌ای ترین دانش جبر خطی، گروه‌ها، حلقه‌ها و میدان‌ها را در نظر می‌گیرد. و خواننده را در استفاده از معادل های طبقه ای در نظریه نمایش گروه ها و جبرها راهنمایی می کند. از آنجایی که این کتاب مبتنی بر سخنرانی است، برای هر دانشجوی تحصیلات تکمیلی جبر قابل دسترسی خواهد بود و می تواند برای مطالعه شخصی و همچنین برای استفاده در کلاس درس استفاده شود.

Introducing the representation theory of groups and finite dimensional algebras, first studying basic non-commutative ring theory, this book covers the necessary background on elementary homological algebra and representations of groups up to block theory. It further discusses vertices, defect groups, Green and Brauer correspondences and Clifford theory. Whenever possible the statements are presented in a general setting for more general algebras, such as symmetric finite dimensional algebras over a field.

Then, abelian and derived categories are introduced in detail and are used to explain stable module categories, as well as derived categories and their main invariants and links between them. Group theoretical applications of these theories are given – such as the structure of blocks of cyclic defect groups – whenever appropriate. Overall, many methods from the representation theory of algebras are introduced.

Representation Theory assumes only the most basic knowledge of linear algebra, groups, rings and fields and guides the reader in the use of categorical equivalences in the representation theory of groups and algebras. As the book is based on lectures, it will be accessible to any graduate student in algebra and can be used for self-study as well as for classroom use.