Recent Synthetic Differential Geometry

یک رویکرد ترکیبی به هندسه دیفرانسیل ذاتی در بزرگ و ارتباط آن با مبانی هندسه در "هندسه ژئودزیکس" (1955، به نقل از G) ارائه شد. هدف گزارش حاضر به روز رسانی این نظریه است. بسیاری از تحقیقات بعدی ip. توسط مشکلات مطرح شده در G تحریک شده اند، برخی دیگر به موضوعات جدید مربوط می شوند. به طور طبیعی ارجاع به G مکرر است. با این حال، بخش‌های بزرگ، به‌ویژه فصل‌های I و III به‌عنوان چندین مجموعه منفرد، تنها از تعاریف اولیه استفاده می‌کنند. اینها در اینجا تکرار می شوند، گاهی اوقات به شکل کمی متفاوت، به طوری که در موقعیت های عمومی تر اعمال می شود. در بسیاری از موارد یک نتیجه نقل‌شده در هندسه ریمانی کاملاً آشناست و مشورت با G ضروری نیست. دو استثنا وجود دارد: نظریه موازی‌ها در بخش‌های 13، 15 و 17 بدون فرمول‌بندی مجدد همه تعاریف و ویژگی‌ها (پرتوهای مشترک و کره‌های حدی) استفاده می‌شود. ثانیاً، بسیاری از موارد از ادبیات G (ص 409-412) در اینجا استفاده شده است و گنجاندن آنها در فهرست منابع فعلی (صص 106-110) اضافی به نظر می رسد. نقل قول ها با [ ] و ( ) متمایز می شوند، به طوری که، برای مثال، FreudenthaI [1] و (I) به ترتیب در G و اینجا یافت می شوند.

A synthetic approach to intrinsic differential geometry in the large and its connections with the foundations of geometry was presented in "The Geometry of Geodesics" (1955, quoted as G). It is the purpose of the present report to bring this theory up to date. Many of the later ip.vestigations were stimulated by problems posed in G, others concern newtopics. Naturally references to G are frequent. However, large parts, in particular Chapters I and III as weIl as several individual seetions, use only the basic definitions. These are repeated here, sometimes in a slightly different form, so as to apply to more general situations. In many cases a quoted result is quite familiar in Riemannian Geometry and consulting G will not be found necessary. There are two exceptions : The theory of paralleIs is used in Sections 13, 15 and 17 without reformulating all definitions and properties (of co-rays and limit spheres). Secondly, many items from the literature in G (pp. 409-412) are used here and it seemed superfluous to include them in the present list of references (pp. 106-110). The quotations are distinguished by [ ] and ( ), so that, for example, FreudenthaI [1] and (I) are found, respectively, in G and here.