Real Analysis and Probability

Cover......Page 1
Half-title......Page 3
Series-title......Page 4
Title......Page 5
Copyright......Page 6
Contents......Page 7
Preface to the Cambridge Edition......Page 11
1.1. Definitions for Set Theory and the Real Number System......Page 13
Problems......Page 20
1.2. Relations and Orderings......Page 21
Problems......Page 23
*1.3. Transfinite Induction and Recursion......Page 24
Problems......Page 27
1.4. Cardinality......Page 28
Problems......Page 29
1.5. The Axiom of Choice and Its Equivalents......Page 30
Problems......Page 33
References......Page 34
2.1. Topologies, Metrics, and Continuity......Page 36
Problems......Page 44
2.2. Compactness and Product Topologies......Page 46
Problems......Page 53
2.3. Complete and Compact Metric Spaces......Page 56
Problems......Page 59
2.4. Some Metrics for Function Spaces......Page 60
Problems......Page 68
2.5. Completion and Completeness of Metric Spaces......Page 70
Problems......Page 74
*2.6. Extension of Continuous Functions......Page 75
Problems......Page 77
*2.7. Uniformities and Uniform Spaces......Page 79
Problems......Page 82
*2.8. Compactification......Page 83
Problems......Page 86
Notes......Page 87
References......Page 92
3.1. Introduction to Measures......Page 97
Problems......Page 105
3.2. Semirings and Rings......Page 106
Problems......Page 112
3.3. Completion of Measures......Page 113
Problems......Page 116
3.4. Lebesgue Measure and Nonmeasurable Sets......Page 117
Problems......Page 120
*3.5. Atomic and Nonatomic Measures......Page 121
Problems......Page 122
Notes......Page 123
References......Page 124
4.1. Simple Functions......Page 126
Problems......Page 134
*4.2. Measurability......Page 135
Problems......Page 140
4.3. Convergence Theorems for Integrals......Page 142
Problems......Page 144
4.4. Product Measures......Page 146
Problems......Page 152
*4.5. Daniell-Stone Integrals......Page 154
Problems......Page 158
Notes......Page 160
References......Page 162
5.1. Inequalities for Integrals......Page 164
Problems......Page 168
5.2. Norms and Completeness of L......Page 170
Problems......Page 171
5.3. Hilbert Spaces......Page 172
Problems......Page 176
5.4. Orthonormal Sets and Bases......Page 177
Problems......Page 184
5.5. Linear Forms on Hilbert Spaces, Inclusions of L Spaces, and Relations between Two Measures......Page 185
Problems......Page 189
5.6. Signed Measures......Page 190
Problems......Page 193
Notes......Page 194
References......Page 197
6.1. Lipschitz, Continuous, and Bounded Functionals......Page 200
Problems......Page 205
6.2. Convex Sets and Their Separation......Page 207
Problems......Page 214
6.3. Convex Functions......Page 215
Problems......Page 219
*6.4. Duality of L Spaces......Page 220
Problems......Page 222
6.5. Uniform Boundedness and Closed Graphs......Page 223
Problems......Page 226
*6.6. The Brunn-Minkowski Inequality......Page 227
Notes......Page 230
References......Page 231
7.1. Baire and Borel Sigma-Algebras and Regularity of Measures......Page 234
Problems......Page 238
*7.2. Lebesgue’s Differentiation Theorems......Page 240
Problems......Page 246
*7.3. The Regularity Extension......Page 247
Problems......Page 250
*7.4. The Dual of C(K) and Fourier Series......Page 251
Problems......Page 254
*7.5. Almost Uniform Convergence and Lusin’s Theorem......Page 255
Notes......Page 257
References......Page 259
8 Introduction to Probability Theory......Page 262
8.1. Basic Definitions......Page 263
Problems......Page 266
8.2. Infinite Products of Probability Spaces......Page 267
Problems......Page 271
8.3. Laws of Large Numbers......Page 272
Problems......Page 278
*8.4. Ergodic Theorems......Page 279
Problems......Page 284
Notes......Page 285
References......Page 290
9.1. Distribution Functions and Densities......Page 294
Problems......Page 297
9.2. Convergence of Random Variables......Page 299
Problems......Page 302
9.3. Convergence of Laws......Page 303
Problems......Page 308
9.4. Characteristic Functions......Page 310
Problems......Page 314
9.5. Uniqueness of Characteristic Functions and a Central Limit Theorem......Page 315
Problems......Page 325
9.6. Triangular Arrays and Lindeberg’s Theorem......Page 327
Problems......Page 330
9.7. Sums of Independent Real Random Variables......Page 332
Problems......Page 336
*9.8. The Lévy Continuity Theorem; Infinitely Divisible and Stable Laws......Page 337
Problems......Page 340
Notes......Page 342
References......Page 345
10.1. Conditional Expectations......Page 348
Problems......Page 352
10.2. Regular Conditional Probabilities and Jensen’s Inequality......Page 353
Problems......Page 363
10.3. Martingales......Page 365
Problems......Page 369
10.4. Optional Stopping and Uniform Integrability......Page 370
Problems......Page 375
10.5. Convergence of Martingales and Submartingales......Page 376
Problems......Page 380
*10.6. Reversed Martingales and Submartingales......Page 382
Problems......Page 385
*10.7. Subadditive and Superadditive Ergodic Theorems......Page 386
Problems......Page 392
Notes......Page 393
References......Page 395
11.1. Laws and Their Convergence......Page 397
Problems......Page 401
11.2. Lipschitz Functions......Page 402
Problems......Page 404
11.3. Metrics for Convergence of Laws......Page 405
Problems......Page 410
11.4. Convergence of Empirical Measures......Page 411
Problems......Page 413
11.5. Tightness and Uniform Tightness......Page 414
Problems......Page 417
11.6. Strassen’s Theorem: Nearby Variables with Nearby Laws......Page 418
Problems......Page 424
*11.7. A Uniformity for Laws and Almost Surely Converging Realizations of Converging Laws......Page 425
Problems......Page 431
*11.8. Kantorovich-Rubinstein Theorems......Page 432
Problems......Page 437
*11.9. U-Statistics......Page 438
Problems......Page 444
Notes......Page 445
References......Page 448
12.1. Existence of Processes and Brownian Motion......Page 451
Problems......Page 460
12.2. The Strong Markov Property of Brownian Motion......Page 462
Problems......Page 469
12.3. Reflection Principles, The Brownian Bridge, and Laws of Suprema......Page 471
Problems......Page 479
12.4. Laws of Brownian Motion at Markov Times: Skorohod Imbedding......Page 481
Problems......Page 487
12.5. Laws of the Iterated Logarithm......Page 488
Problems......Page 491
Notes......Page 492
References......Page 495
*13.1. Borel Isomorphism......Page 499
Problems......Page 504
13.2. Analytic Sets......Page 505
Problems......Page 511
Notes......Page 512
References......Page 513
A.1. Mathematical Logic......Page 515
A.2. Axioms for Set Theory......Page 517
A.3. Ordinals and Cardinals......Page 522
A.4. From Sets to Numbers......Page 527
Notes......Page 529
References......Page 531
B Complex Numbers, Vector Spaces, and Taylor’s Theorem with Remainder......Page 533
References......Page 537
C The Problem of Measure......Page 538
References......Page 539
D Rearranging Sums of Nonnegative Terms......Page 540
Reference......Page 541
E Pathologies of Compact Nonmetric Spaces......Page 542
Notes......Page 551
References......Page 552
Author Index......Page 553
Subject Index......Page 558
Notation Index......Page 566