Real Analysis

این کتاب درسی برای یک دوره یک ساله در تجزیه و تحلیل واقعی طراحی شده است که توسط دانشجویان مقطع کارشناسی ارشد و پیشرفته در ریاضیات و سایر زمینه ها مانند آمار، مهندسی و اقتصاد گرفته شده است. این کتاب که توسط یکی از محققین برجسته در این زمینه نوشته شده است، مفاهیم اصلی را در تجزیه و تحلیل واقعی کاوش می کند و روش های جدید و در دسترس را هم برای دانش آموزان و هم برای مربیان معرفی می کند.
نیمه اول کتاب هم اندازه گیری Lebesgue را توسعه می دهد و هم اساساً بدون هیچ چیز. کار اضافی برای دانش آموز، معیارهای بورل کلی برای خط واقعی. علامت گذاری نشان می دهد که یک نتیجه فقط برای اندازه گیری Lebesgue برقرار است. تمایز و تداوم مطلق با استفاده از یک تابع حداکثر محلی ارائه می‌شوند، که منجر به نمایشی می‌شود که هم ساده‌تر و هم کلی‌تر از رویکرد سنتی است.
نیمه دوم به معیارهای کلی و تحلیل عملکردی، از جمله فضاهای هیلبرت، سری فوریه، و قضیه نمایش Riesz برای توابع خطی مثبت روی توابع پیوسته با پشتیبانی فشرده. برای بحث درست در مورد محدودیت‌های ضعیف اندازه‌گیری‌ها، به جای صرفاً فضای متریک، به مفهوم فضای توپولوژیکی نیاز داریم، بنابراین توپولوژی عمومی بر حسب پایه همسایگی‌ها در یک نقطه معرفی می‌شود. سپس توسعه نتایج به موازات نتایج برای فضاهای متریک ادامه می‌یابد، جایی که پایه توسط توپ‌هایی که در مرکز یک نقطه هستند تولید می‌شود. متن با ضمیمه هایی در مورد پوشش قضایای ابعاد بالاتر و مقدمه ای کوتاه بر تحلیل غیراستاندارد از جمله کاربردهای مهم در نظریه احتمالات و اقتصاد ریاضی پایان می یابد.

This textbook is designed for a year-long course in real analysis taken by beginning graduate and advanced undergraduate students in mathematics and other areas such as statistics, engineering, and economics. Written by one of the leading scholars in the field, it elegantly explores the core concepts in real analysis and introduces new, accessible methods for both students and instructors.
The first half of the book develops both Lebesgue measure and, with essentially no additional work for the student, general Borel measures for the real line. Notation indicates when a result holds only for Lebesgue measure. Differentiation and absolute continuity are presented using a local maximal function, resulting in an exposition that is both simpler and more general than the traditional approach.
The second half deals with general measures and functional analysis, including Hilbert spaces, Fourier series, and the Riesz representation theorem for positive linear functionals on continuous functions with compact support. To correctly discuss weak limits of measures, one needs the notion of a topological space rather than just a metric space, so general topology is introduced in terms of a base of neighborhoods at a point. The development of results then proceeds in parallel with results for metric spaces, where the base is generated by balls centered at a point. The text concludes with appendices on covering theorems for higher dimensions and a short introduction to nonstandard analysis including important applications to probability theory and mathematical economics.