Quantum Isometry Groups

این کتاب یک مرور کلی به روز از نظریه اخیر پیشنهادی گروه های ایزومتریک کوانتومی ارائه می دهد. این کتاب که توسط بنیانگذاران نوشته شده است، اولین کتابی است که تحقیقی را در مورد "گروه ایزومتریک کوانتومی" ارائه می کند، که برهمکنش هندسه غیرتقابلی و گروه های کوانتومی را برجسته می کند، که تعمیم غیرتقابلی مفهوم گروه ایزومتری یک منیفولد ریمانی کلاسیک است. انگیزه این تعمیم، اهمیت گروه های ایزومتریک در ریاضی و فیزیک است. این چارچوب شامل «هندسه غیرتبدیلی» آلن کونس و نظریه عملگر-جبری «گروه‌های کوانتومی» است. نویسندگان وجود گروه ایزومتریک کوانتومی را برای چندمنیفولدهای غیرجابه‌جایی ارائه‌شده توسط سه‌گانه‌های طیفی در شرایط ملایم اثبات کرده و تعدادی از روش‌ها را برای محاسبه آن‌ها مورد بحث قرار می‌دهند. یکی از برجسته‌ترین و عمیق‌ترین یافته‌ها، عدم وجود گروه‌های ایزومتریک کوانتومی غیرکلاسیک برای منیفولدهای فشرده متصل کلاسیک دلخواه است و با استفاده از این، نویسندگان به صراحت گروه‌های ایزومتریک کوانتومی اکثر منیفولدهای غیرجابه‌جایی مورد مطالعه در ادبیات را توصیف می‌کنند. برخی انگیزه های فیزیکی و کاربردهای احتمالی نیز مورد بحث قرار گرفته است.

This book offers an up-to-date overview of the recently proposed theory of quantum isometry groups. Written by the founders, it is the first book to present the research on the “quantum isometry group”, highlighting the interaction of noncommutative geometry and quantum groups, which is a noncommutative generalization of the notion of group of isometry of a classical Riemannian manifold. The motivation for this generalization is the importance of isometry groups in both mathematics and physics. The framework consists of Alain Connes’ “noncommutative geometry” and the operator-algebraic theory of “quantum groups”. The authors prove the existence of quantum isometry group for noncommutative manifolds given by spectral triples under mild conditions and discuss a number of methods for computing them. One of the most striking and profound findings is the non-existence of non-classical quantum isometry groups for arbitrary classical connected compact manifolds and, by using this, the authors explicitly describe quantum isometry groups of most of the noncommutative manifolds studied in the literature. Some physical motivations and possible applications are also discussed.