Quantization, Geometry and Noncommutative Structures in Mathematics and Physics

این مونوگراف رویکردهای مختلف در حال انجام را به موضوع وسیع کوانتیزه کردن، که فرآیند تشکیل یک سیستم مکانیکی کوانتومی با شروع از یک سیستم کلاسیک است، ارائه می‌کند و برهمکنش‌های مثمر ثمر آن‌ها را با ریاضیات مورد بحث قرار می‌دهد. فصل آغازین، اشکال مختلف کوانتیزه‌سازی را معرفی می‌کند. و تعامل آنها با یکدیگر و با ریاضیات. اولین رویکرد به کوانتیزه کردن، به نام کوانتیزاسیون تغییر شکل، شامل مشاهده ثابت پلانک به عنوان یک پارامتر کوچک است. این رویکرد به جای تغییر اساسی در ماهیت مشاهدات، تغییر شکل ساختار جبر مشاهده پذیرهای کلاسیک را فراهم می کند. هنگامی که تقارن وارد عمل می شود، کمی سازی تغییر شکل باید با اقدامات گروهی ادغام شود، که در فصل 2، توسط سیمون گات ارائه شده است. عدم جابجایی ناشی از کوانتیزه سازی، نگرانی اصلی هندسه غیرتقاییلی است. وجود تقارن‌ها مستلزم کار با دسته‌های فیبر اصلی در یک تنظیم غیرقابل تعویض است، جایی که جبرهای Hopf به طور طبیعی ظاهر می‌شوند. این موضوع فصل 3 توسط کریستین کاسل است. جبرهای نیکولز، نوع خاصی از جبرهای هاپف، موضوع فصل 4، اثر نیکلاس آندروسکیویچ است. رویکردهای صرفا جبری ارائه شده در فصل های قبل، هندسه فضا-زمان را در نظر نمی گیرند. برای این منظور درمان خاصی با استفاده از دیدگاه هندسی بیشتر مورد نیاز است. رویکردی به کوانتیزه‌سازی میدانی در فضا-زمان منحنی، با کاربرد در کیهان‌شناسی، در فصل 5 در گزارشی از سخنرانی‌های ابهای اشتکار ارائه شده است که دیدگاه مکملی را برای عدم جابجایی به ارمغان می‌آورد. یک روش کوانتیزاسیون جایگزین تحت این روش شناخته شده است. نام نظریه ریسمان در فصل 6 نسخه فوق متقارن آن ارائه شده است. ابر ریسمان ها به دلیل برهم کنش های پرثمری که با هندسه جبری دارند، توجه بسیاری از ریاضیدانان را به خود جلب کرده اند که در اینجا برخی از آنها توضیح داده شده است. فصل‌های باقی‌مانده موضوعات بیشتری را مورد بحث قرار می‌دهند، از جمله فرمالیسم باتالین-ویلکویسکی و محصولات مستقیم سه‌گانه‌های طیفی. توپولوژی، جبر و نظریه میدان کوانتومی.

This monograph presents various ongoing approaches to the vast topic of quantization, which is the process of forming a quantum mechanical system starting from a classical one, and discusses their numerous fruitful interactions with mathematics.The opening chapter introduces the various forms of quantization and their interactions with each other and with mathematics.A first approach to quantization, called deformation quantization, consists of viewing the Planck constant as a small parameter. This approach provides a deformation of the structure of the algebra of classical observables rather than a radical change in the nature of the observables. When symmetries come into play, deformation quantization needs to be merged with group actions, which is presented in chapter 2, by Simone Gutt.The noncommutativity arising from quantization is the main concern of noncommutative geometry. Allowing for the presence of symmetries requires working with principal fiber bundles in a non-commutative setup, where Hopf algebras appear naturally. This is the topic of chapter 3, by Christian Kassel. Nichols algebras, a special type of Hopf algebras, are the subject of chapter 4, by Nicolás Andruskiewitsch. The purely algebraic approaches given in the previous chapters do not take the geometry of space-time into account. For this purpose a special treatment using a more geometric point of view is required. An approach to field quantization on curved space-time, with applications to cosmology, is presented in chapter 5 in an account of the lectures of Abhay Ashtekar that brings a complementary point of view to non-commutativity.An alternative quantization procedure is known under the name of string theory. In chapter 6 its supersymmetric version is presented. Superstrings have drawn the attention of many mathematicians, due to its various fruitful interactions with algebraic geometry, some of which are described here. The remaining chapters discuss further topics, as the Batalin-Vilkovisky formalism and direct products of spectral triples.This volume addresses both physicists and mathematicians and serves as an introduction to ongoing research in very active areas of mathematics and physics at the border line between geometry, topology, algebra and quantum field theory.