Quadpack: A Subroutine Package for Automatic Integration

1. 1. مروری بر ربع عددی ارزیابی عددی انتگرال ها یکی از قدیمی ترین مسائل در ریاضیات است. می توان ریشه های آن را حداقل به ارشمیدس جستجو کرد. وظیفه محاسبه مقدار انتگرال معین یک تابع معین است. این ناحیه زیر یک منحنی در یک بعد یا یک حجم در چند بعد است. علاوه بر این که مسئله‌ای با علاقه عملی زیاد است، به توسعه ریاضیات بسیار زیبایی و بینش نیز منجر شده است. بسیاری از بخش‌های نظریه تقریب مستقیماً برای ادغام قابل اعمال هستند و نتایج حاصل از حوزه‌های متنوعی مانند چندجمله‌ای متعامد، سری فوریه و نظریه اعداد پیامدهای مهمی برای ارزیابی انتگرال‌ها داشته‌اند. ما مشکلی را که در اینجا به آن پرداخته شده به عنوان یکپارچگی عددی یا ربع عددی نشان می دهیم. در طول سال‌ها، تحلیلگران و مهندسان به مجموعه‌ای از قضایا، الگوریتم‌ها و اخیراً برنامه‌ها برای حل این مشکل خاص کمک کرده‌اند. تلاش زیادی به تکنیک‌هایی برای ارزیابی تحلیلی انتگرال‌ها اختصاص یافته است. با این حال، اکثر انتگرال های معمول در کارهای علمی عملی قادر به ارزیابی به صورت بسته نیستند. حتی اگر بتوان یک عبارت را برای مقدار یک انتگرال استخراج کرد، اغلب این خود را تنها پس از مقادیر بی‌شمار دستکاری جبری مستعد خطا نشان می‌دهد. اخیراً برخی از رویه‌های کامپیوتری توسعه یافته‌اند که می‌توانند در صورت امکان یکپارچه‌سازی تحلیلی را انجام دهند.

1. 1. Overview of Numerical Quadrature The numerical evaluation of integrals is one of the oldest problems in mathematics. One can trace its roots back at least to Archimedes. The task is to compute the value of the definite integral of a given function. This is the area under a curve in one dimension or a volume in several dimensions. In addition to being a problem of great practi­ cal interest it has also lead to the development of mathematics of much beauty and insight. Many portions of approximation theory are directly applicable to integration and results from areas as diverse as orthogo­ nal polynomials, Fourier series and number theory have had important implications for the evaluation of integrals. We denote the problem addressed here as numerical integration or numerical quadrature. Over the years analysts and engineers have contributed to a growing body of theorems, algorithms and lately, programs, for the solution of this specific problem. Much effort has been devoted to techniques for the analytic evalua­ tion of integrals. However, most routine integrals in practical scien­ tific work are incapable of being evaluated in closed form. Even if an expression can be derived for the value of an integral, often this reveals itself only after inordinate amounts of error prone algebraic manipulation. Recently some computer procedures have been developed which can perform analytic integration when it is possible.