q-Fractional Calculus and Equations

این تک‌فصل نه‌فصلی، بررسی دقیق عملگرهای q-تفاوت در تنظیمات استاندارد و کسری را معرفی می‌کند. قبل از تبدیل به معادلات q-تفاوت، با محاسبه ابتدایی تفاوت‌های q- و ادغام نوع جکسون شروع می‌شود. قضایای وجود و یکتایی با استفاده از تقریب های متوالی به دست می آیند که منجر به سیستم های معادلات با استدلال های عقب افتاده می شود. تئوری منظم q-Sturm–Liouville نیز معرفی شده است. تابع گرین ساخته شده و قضیه بسط تابع ویژه داده شده است. این مونوگراف همچنین برخی معادلات انتگرالی از نوع Volterra و Abel را به عنوان ماده مقدماتی برای مطالعه کسری q-محاسبات مورد بحث قرار می دهد. از این رو محاسبات کسری q- از انواع Riemann-Liouville. گرونوالد-لتنیکوف؛ کاپوتو Erdélyi-Kober و Weyl به صورت تحلیلی تعریف شده اند. قواعد کسری q-لایب‌نیتس با کاربردهای سری q- نیز با براهین دقیق نتایج رسمی السلام ورما به دست می‌آیند، که برای دهه‌ها اثبات نشده باقی ماندند. در کار برای بررسی معادلات اختلاف کسری q-. خانواده‌های توابع q-میتاگ-لفلر تعریف شده‌اند و ویژگی‌های آن‌ها بررسی می‌شوند، به‌ویژه انتگرال q-ملین-بارنز و نمایش انتگرال کانتور Hankel از q- توابع میتاگ-لفلر در نظر گرفته شده، توزیع، مجانبی و واقعیت صفرهای آنها، همتاهای q- نتایج ویمن را ایجاد می کند. معادلات کسری q-تفاوت مطالعه شده است. قضایای وجود و یکتایی داده شده است و کلاس‌هایی از مسائل نوع کوشی بر حسب خانواده‌های توابع q-Mittag-Leffler کاملاً حل شده‌اند. در میان بسیاری از q-آنالوگ های نتایج و مفاهیم کلاسیک، q-لاپلاس، q-ملین و q²-تبدیل های فوریه مورد مطالعه قرار گرفته و کاربردهای آنها بررسی می شود.

This nine-chapter monograph introduces a rigorous investigation of q-difference operators in standard and fractional settings. It starts with elementary calculus of q-differences and integration of Jackson’s type before turning to q-difference equations. The existence and uniqueness theorems are derived using successive approximations, leading to systems of equations with retarded arguments. Regular q-Sturm–Liouville theory is also introduced; Green’s function is constructed and the eigenfunction expansion theorem is given. The monograph also discusses some integral equations of Volterra and Abel type, as introductory material for the study of fractional q-calculi. Hence fractional q-calculi of the types Riemann–Liouville; Grünwald–Letnikov; Caputo; Erdélyi–Kober and Weyl are defined analytically. Fractional q-Leibniz rules with applications in q-series are also obtained with rigorous proofs of the formal results of Al-Salam-Verma, which remained unproved for decades. In working towards the investigation of q-fractional difference equations; families of q-Mittag-Leffler functions are defined and their properties are investigated, especially the q-Mellin–Barnes integral and Hankel contour integral representation of the q-Mittag-Leffler functions under consideration, the distribution, asymptotic and reality of their zeros, establishing q-counterparts of Wiman’s results. Fractional q-difference equations are studied; existence and uniqueness theorems are given and classes of Cauchy-type problems are completely solved in terms of families of q-Mittag-Leffler functions. Among many q-analogs of classical results and concepts, q-Laplace, q-Mellin and q²-Fourier transforms are studied and their applications are investigated.