Proof Theory: History and Philosophical Significance

جلد او در سری کتابخانه‌های سینتز نتیجه کنفرانس T است که در دانشگاه روسکیلد، دانمارک، از 31 اکتبر تا 1 نوامبر 1997 برگزار شد. هدف این بود که انجمنی را فراهم کند که در آن فیلسوفان، ریاضیدانان ریاضی، منطق‌دانان و مورخان ریاضیات می توانند ایده های مربوط به توسعه تاریخی و فلسفی نظریه اثبات را مبادله کنند. از این رو کنفرانس نظریه اثبات: تاریخ و اهمیت فلسفی نامیده شد. به نقل از چکیده کنفرانس: نظریه اثبات به عنوان بخشی از برنامه هیلبرتز توسعه داده شد. بر اساس برنامه هیلبرتز، می توان با رسمیت بخشیدن به تمام ریاضیات، پایه ای محکم و مطمئن برای ریاضیات ایجاد کرد و متعاقباً سازگاری این سیستم های رسمی را با ابزارهای محدود کننده اثبات کرد. از این رو نظریه اثبات به عنوان ابزاری رسمی توسعه یافت که از طریق آن این هدف باید محقق شود. به خوبی شناخته شده است که برنامه هیلبرت در شکل اصلی خود عمدتاً به دلیل قضایای ناقص بودن Gtldel غیرقابل اجرا بود. علاوه بر این ثابت شد که رسمی کردن تمام ریاضیات غیرممکن است و حتی اثبات سازگاری قطعات رسمی شده نسبتا ساده ریاضیات با روش های محدود غیرممکن است. علی‌رغم این مشکلات، گنتزن نشان داد که با بسط نظریه اثبات هیلبرت، می‌توان سازگاری سیستم‌های رسمی جالب را اثبات کرد، شاید نه با روش‌های finitis tic، بلکه با روش‌هایی با حداقل استحکام. این تعمیم برنامه اصلی هیلبرت به نظریه اثبات مدرن دامن زده است که بخشی غنی از منطق ریاضی با پیامدهای مهم بسیاری برای فلسفه ریاضیات است.

hiS volume in the Synthese Library Series is the result of a conference T held at the University of Roskilde, Denmark, October 31st-November 1st, 1997. The aim was to provide a forum within which philosophers, math­ ematicians, logicians and historians of mathematics could exchange ideas pertaining to the historical and philosophical development of proof theory. Hence the conference was called Proof Theory: History and Philosophical Significance. To quote from the conference abstract: Proof theory was developed as part of Hilberts Programme. According to Hilberts Programme one could provide mathematics with a firm and se­ cure foundation by formalizing all of mathematics and subsequently prove consistency of these formal systems by finitistic means. Hence proof theory was developed as a formal tool through which this goal should be fulfilled. It is well known that Hilbert's Programme in its original form was unfeasible mainly due to Gtldel's incompleteness theorems. Additionally it proved impossible to formalize all of mathematics and impossible to even prove the consistency of relatively simple formalized fragments of mathematics by finitistic methods. In spite of these problems, Gentzen showed that by extending Hilbert's proof theory it would be possible to prove the consistency of interesting formal systems, perhaps not by finitis­ tic methods but still by methods of minimal strength. This generalization of Hilbert's original programme has fueled modern proof theory which is a rich part of mathematical logic with many significant implications for the philosophy of mathematics.