Projection Matrices, Generalized Inverse Matrices, and Singular Value Decomposition

به غیر از نظریه توزیع، پیش بینی ها و تجزیه ارزش منفرد (SVD) دو مفهوم مهم برای درک مکانیسم اساسی تحلیل چند متغیره هستند. اولی زیربنای برآورد حداقل مربعات در تحلیل رگرسیون است، که اساساً یک طرح ریزی از یک زیرفضا به فضای دیگر است، و دومی زیربنای تجزیه و تحلیل مؤلفه های اصلی است، که به دنبال یافتن فضای فرعی است که بیشترین تنوع را در فضای اصلی ثبت کند.

این کتاب درباره پیش بینی ها و SVD است. بحث کاملی در مورد ماتریس‌های معکوس تعمیم‌یافته (g-inverse) نیز ارائه شده است زیرا ارتباط نزدیکی با اولی دارد. این کتاب گزارش‌های سیستماتیک و عمیقی از این مفاهیم از دیدگاه یکپارچه‌ای از فضاهای برداری با ابعاد محدود تبدیل‌های خطی ارائه می‌کند. به طور خاص، نشان می دهد که ماتریس های طرح ریزی (پروژکتورها) و ماتریس های معکوس g را می توان به روش های مختلفی تعریف کرد به طوری که یک فضای برداری به مجموع مستقیمی از زیرفضاهای (غیرمتناسب) تجزیه می شود. ماتریس‌های فرافکنی، ماتریس‌های معکوس تعمیم‌یافته، و تجزیه ارزش منفرد برای محققان، پزشکان و دانش‌آموزان در ریاضیات کاربردی، آمار، مهندسی، رفتارسنجی و سایر زمینه‌ها مفید خواهد بود.

Aside from distribution theory, projections and the singular value decomposition (SVD) are the two most important concepts for understanding the basic mechanism of multivariate analysis. The former underlies the least squares estimation in regression analysis, which is essentially a projection of one subspace onto another, and the latter underlies principal component analysis, which seeks to find a subspace that captures the largest variability in the original space.

This book is about projections and SVD. A thorough discussion of generalized inverse (g-inverse) matrices is also given because it is closely related to the former. The book provides systematic and in-depth accounts of these concepts from a unified viewpoint of linear transformations finite dimensional vector spaces. More specially, it shows that projection matrices (projectors) and g-inverse matrices can be defined in various ways so that a vector space is decomposed into a direct-sum of (disjoint) subspaces. Projection Matrices, Generalized Inverse Matrices, and Singular Value Decomposition will be useful for researchers, practitioners, and students in applied mathematics, statistics, engineering, behaviormetrics, and other fields.