Programming in Networks and Graphs: On the Combinatorial Background and Near-Equivalence of Network Flow and Matching Algorithms

جریان شبکه و تطبیق اغلب به طور جداگانه در ادبیات بررسی می شود و برای هر کلاس الگوریتم های مختلفی توسعه داده شده است. این الگوریتم‌ها معمولاً به‌عنوان اولیه، دوگانه، اولیه-دوگانه و غیره طبقه‌بندی می‌شوند. سؤالی که نویسنده در این اثر به آن می‌پردازد، وجود یک اصل ترکیبی مشترک است که ممکن است در همه آن رویکردهای ظاهراً متفاوت ذاتی باشد. نشان داده شده است که همه الگوریتم‌های رایج جریان شبکه و تطبیق به طور ضمنی از کوتاه‌ترین مسیر افزایشی پیروی می‌کنند. این را می توان به عنوان یک قانون تصمیم گیری حریصانه تفسیر کرد که در آن راه حل بهینه از طریق دنباله ای از راه حل های بهینه محلی ساخته می شود. کارایی این رویکرد با ترکیب این قانون تصمیم گیری نزدیک بینی با یک سازمان پیش بینی محقق می شود. رویکرد این کار به شرح زیر سازماندهی شده است. برای چندین مشکل جریان استاندارد و تطبیق، ابتدا رویه های راه حل رایج بررسی می شوند. سپس نشان داده می شود که همه آنها به یک اصل اساسی مشترک تقلیل می یابند، یعنی اگر شرایط خاصی به درستی تنظیم شوند و پیوندها طبق یک قانون مشترک شکسته شوند، همه مراحل محاسباتی یکسانی را انجام می دهند. با تشخیص این هم ارزی تقریباً همه الگوریتم‌های متداول، سؤال بهترین روش باید اصلاح شود - همه روش‌ها (فقط) پیاده‌سازی‌های متفاوتی از یک الگوریتم هستند که با دیدگاه‌های متفاوتی از مسئله به دست می‌آیند.

Network flow and matching are often treated separately in the literature and for each class a variety of different algorithms has been developed. These algorithms are usually classified as primal, dual, primal-dual etc. The question the author addresses in this work is that of the existence of a common combinatorial principle which might be inherent in all those apparently different approaches. It is shown that all common network flow and matching algorithms implicitly follow the so-called shortest augmenting path. This can be interpreted as a greedy-like decision rule where the optimal solution is built up through a sequence of local optimal solutions. The efficiency of this approach is realized by combining this myopic decision rule with an anticipant organization. The approach of this work is organized as follows. For several standard flow and matching problems the common solution procedures are first reviewed. It is then shown that they all reduce to a common basic principle, that is, they all perform the same computational steps if certain conditions are set properly and ties are broken according to a common rule. Recognizing this near-equivalence of all commonly used algorithms the question of the best method has to be modified - all methods are (only) different implementations of the same algorithm obtained by different views of the problem.