Products of Random Matrices: in Statistical Physics

در حال حاضر، پس از موفقیت گروه نرمال‌سازی مجدد در ارائه یک چارچوب مفهومی برای مطالعه انتقال فازهای مرتبه دوم، ما درک تقریباً رضایت‌بخشی از مکانیک آماری سیستم‌های کلاسیک با همیلتونی غیرتصادفی داریم. اگر تئوری سیستم هایی با هامیلتونی تصادفی یا سیستم های دینامیکی آشفته را در نظر بگیریم، وضعیت کاملاً متفاوت است. این دو فیلد به هم متصل هستند. در واقع، در دومی اثرات آشوب قطعی را می توان با یک فرآیند تصادفی مناسب مدل کرد. اگرچه نتایج جالب بسیاری در سال‌های اخیر به دست آمده و پیشرفت‌های زیادی حاصل شده است، اما ما هنوز درک رضایت‌بخشی از تنوع بسیار گسترده‌ای از پدیده‌هایی که در این زمینه‌ها وجود دارد، نداریم. مطالعه سیستم‌های بی‌نظم یا آشفته مرز جدیدی است که در آن ایده‌ها و تکنیک‌های جدید در حال توسعه هستند. انتظار می رود نتایج جالب و عمیق تری در سال های آینده به دست آید. خواص ماتریس های تصادفی و محصولات آنها یک ابزار اساسی را تشکیل می دهند که اهمیت آن را نمی توان دست کم گرفت. آنها نقشی به اندازه تبدیل فوریه برای معادلات دیفرانسیل دارند. این کتاب تا آنجایی که یک رویکرد واحد را برای نتایج اصلی که در مطالعه ماتریس های تصادفی به دست آمده است ارائه می دهد بسیار جالب است. این یک کتاب مرجع برای افرادی خواهد بود که در این زمینه کار می کنند. این کتاب توسط فیزیکدانان نوشته شده است، از زبان فیزیک استفاده شده است و من مطمئن هستم که بسیاری از فیزیکدانان آن را با کمال میل خواهند خواند.

At the present moment, after the success of the renormalization group in providing a conceptual framework for studying second-order phase tran­ sitions, we have a nearly satisfactory understanding of the statistical me­ chanics of classical systems with a non-random Hamiltonian. The situation is completely different if we consider the theory of systems with a random Hamiltonian or of chaotic dynamical systems. The two fields are connected; in fact, in the latter the effects of deterministic chaos can be modelled by an appropriate stochastic process. Although many interesting results have been obtained in recent years and much progress has been made, we still lack a satisfactory understanding of the extremely wide variety of phenomena which are present in these fields. The study of disordered or chaotic systems is the new frontier where new ideas and techniques are being developed. More interesting and deep results are expected to come in future years. The properties of random matrices and their products form a basic tool, whose importance cannot be underestimated. They playa role as important as Fourier transforms for differential equations. This book is extremely interesting as far as it presents a unified approach for the main results which have been obtained in the study of random ma­ trices. It will become a reference book for people working in the subject. The book is written by physicists, uses the language of physics and I am sure that many physicists will read it with great pleasure.