Probability Theory III: Stochastic Calculus

پیشگفتار در بدیهیات نظریه احتمال که توسط کولموگروف پیشنهاد شده است، شی اصلی \"احتمالی\" مفهوم مدل احتمال یا فضای احتمال است. این یک سه گانه است (n، F، P)، که در آن n فضای رویدادها یا نتایج اولیه است، F یک جبر از زیر مجموعه های n است که توسط رویدادها اعلام شده است و P یک اندازه گیری احتمال یا احتمال در فضای اندازه گیری است. (n، F). این سیستم عمومی پذیرفته شده بدیهیات نظریه احتمال به قدری موفق بود که جدای از سادگی، امکان پذیرفتن شاخه های کلاسیک نظریه احتمال را فراهم کرد و در عین حال، راه را برای توسعه فصول جدید هموار کرد. آن، به ویژه، نظریه فرآیندهای تصادفی (یا تصادفی) است. در نظریه فرآیندهای تصادفی، طبقات مختلفی از فرآیندها به طور عمیق مورد بررسی قرار گرفته است. تئوری‌های فرآیندهای با افزایش مستقل، فرآیندهای مارکوف، فرآیندهای ثابت و غیره ساخته شده‌اند. در شکل‌گیری و توسعه تئوری فرآیندهای تصادفی، یک رویداد مهم این بود که ساختن یک \"نظریه عمومی فرآیندهای تصادفی\" مستلزم معرفی یک جریان جبر (یک فیلتر) F = ( Ftk::o تکمیل کننده سه گانه (n، F، P)، که در آن F به عنوان t مجموعه رویدادهای F قابل مشاهده تا زمان t تفسیر می شود.

Preface In the axioms of probability theory proposed by Kolmogorov the basic "probabilistic" object is the concept of a probability model or probability space. This is a triple (n, F, P), where n is the space of elementary events or outcomes, F is a a-algebra of subsets of n announced by the events and P is a probability measure or a probability on the measure space (n, F). This generally accepted system of axioms of probability theory proved to be so successful that, apart from its simplicity, it enabled one to embrace the classical branches of probability theory and, at the same time, it paved the way for the development of new chapters in it, in particular, the theory of random (or stochastic) processes. In the theory of random processes, various classes of processes have been studied in depth. Theories of processes with independent increments, Markov processes, stationary processes, among others, have been constructed. In the formation and development of the theory of random processes, a significant event was the realization that the construction of a "general theory of ran­ dom processes" requires the introduction of a flow of a-algebras (a filtration) F = (Ftk::o supplementing the triple (n, F, P), where F is interpreted as t the collection of events from F observable up to time t.