Probability Approximations via the Poisson Clumping Heuristic

اگر تعداد زیادی نقطه را به طور تصادفی در مربع واحد قرار دهید، توزیع شعاع بزرگترین دایره بدون نقطه چقدر است؟ از کوچکترین دایره حاوی 4 نقطه؟ چرا مسیرهای نمونه براونی دارای ماکزیمم محلی هستند اما نقاط افزایش ندارند و چقدر نزدیک به نقاط افزایش هستند؟ با توجه به دو رشته بلند از حروف کشیده شده i. من. د از یک الفبای متناهی، طولانی ترین زیررشته متوالی (مثلاً غیر متوالی) چه مدت در هر دو رشته ظاهر می شود؟ اگر یک ذره خیالی یک راه رفتن تصادفی ساده روی رئوس یک مکعب با ابعاد بالا انجام دهد، چقدر طول می‌کشد تا هر رأس را ببیند؟ اگر ذره ای تحت تأثیر میدان پتانسیل و اغتشاشات تصادفی سرعت حرکت کند، چقدر طول می کشد تا از چاه پتانسیل عمیق فرار کند؟ اگر خودروها در یک آزادراه با سرعت ثابت حرکت کنند (تصادفی از ماشینی به ماشین دیگر)، طولانی ترین مسیر خالی که در طول یک سفر طولانی خواهید دید کدام است؟ اگر یک آی بزرگ بگیرید. من. د نمونه ای از یک توزیع دو بعدی چرخشی ثابت، حداکثر انحراف بین توزیع های تجربی و واقعی در تمام نیمه فضاها چقدر است؟ این سؤالات بخش گسترده ای از احتمال نظری و کاربردی را پوشش می دهد. موضوع رایج این است که همه آنها به نوعی با حداکثر یا حداقل ایمام سروکار دارند.

If you place a large number of points randomly in the unit square, what is the distribution of the radius of the largest circle containing no points? Of the smallest circle containing 4 points? Why do Brownian sample paths have local maxima but not points of increase, and how nearly do they have points of increase? Given two long strings of letters drawn i. i. d. from a finite alphabet, how long is the longest consecutive (resp. non-consecutive) substring appearing in both strings? If an imaginary particle performs a simple random walk on the vertices of a high-dimensional cube, how long does it take to visit every vertex? If a particle moves under the influence of a potential field and random perturbations of velocity, how long does it take to escape from a deep potential well? If cars on a freeway move with constant speed (random from car to car), what is the longest stretch of empty road you will see during a long journey? If you take a large i. i. d. sample from a 2-dimensional rotationally-invariant distribution, what is the maximum over all half-spaces of the deviation between the empirical and true distributions? These questions cover a wide cross-section of theoretical and applied probability. The common theme is that they all deal with maxima or min­ ima, in some sense.