Probabilistic Number Theory II: Central Limit Theorems

در این جلد، توزیع ارزش توابع حسابی را مطالعه می‌کنیم، که اجازه می‌دهیم عادی‌سازی‌های نامحدود را انجام دهیم. روش ها شامل ترکیبی از احتمال و نظریه اعداد است. مجموع متغیرهای تصادفی بی نهایت کوچک مستقل نقش مهمی ایفا می کنند. یک مشکل اصلی این است که تصمیم بگیریم چه زمانی یک تابع حسابی افزایشی fin) به یک تغییر عادی با توابع واقعی a(x) و {3(x) > 0 اجازه دهد به طوری که asx ~ 00 فرکانس های vx(n;f (n) - a(x ) :s;؛ z {3 (x) ) ضعیف همگرا می شوند. (نگاه کنید به نماد). برخلاف جلد یک، اجازه می‌دهیم {3(x) با x نامحدود شود. به طور خاص، ما بررسی می‌کنیم که تا چه حد می‌توان رفتار توابع حسابی افزایشی را با مجموع متغیرهای تصادفی مستقل که به خوبی تعریف شده‌اند، شبیه‌سازی کرد. این دیدگاه ثمربخش در مقاله ای از Erdos و Kac در سال 1939 مطرح شد. ما نتیجه (اکنون کلاسیک) آنها را در فصل 12 به دست می آوریم. روش های بعدی هم تحلیل فوریه روی خط و هم کاربرد سری دیریکله را شامل می شود. بسیاری از موضوعات اضافی در نظر گرفته شده است. ما فقط اشاره می کنیم: مشکل هاردی و رامانوجان. خواص محلی توابع حسابی افزایشی. نرخ همگرایی فرکانس های محاسباتی خاص به قانون عادی؛ شبیه سازی حسابی همه قوانین پایدار همانطور که در جلد اول، پیشینه تاریخی نتایج مختلف مورد بحث قرار گرفته است که بخشی جدایی ناپذیر از متن را تشکیل می دهد. در فصل های 12 و 19 این ملاحظات کاملاً گسترده است و نویسنده اغلب برای خودش صحبت می کند.

In this volume we study the value distribution of arithmetic functions, allowing unbounded renormalisations. The methods involve a synthesis of Probability and Number Theory; sums of independent infinitesimal random variables playing an important role. A central problem is to decide when an additive arithmetic function fin) admits a renormalisation by real functions a(x) and {3(x) > 0 so that asx ~ 00 the frequencies vx(n;f (n) - a(x) :s;; z {3 (x) ) converge weakly; (see Notation). In contrast to volume one we allow {3(x) to become unbounded with x. In particular, we investigate to what extent one can simulate the behaviour of additive arithmetic functions by that of sums of suit­ ably defined independent random variables. This fruiful point of view was intro­ duced in a 1939 paper of Erdos and Kac. We obtain their (now classical) result in Chapter 12. Subsequent methods involve both Fourier analysis on the line, and the appli­ cation of Dirichlet series. Many additional topics are considered. We mention only: a problem of Hardy and Ramanujan; local properties of additive arithmetic functions; the rate of convergence of certain arithmetic frequencies to the normal law; the arithmetic simulation of all stable laws. As in Volume I the historical background of various results is discussed, forming an integral part of the text. In Chapters 12 and 19 these considerations are quite extensive, and an author often speaks for himself.