Pour l'honneur de l'esprit humain: Les mathematiques aujourd'hui () (French Edition)

Introduction......Page 8
Bibliographie commentée......Page 10
1. La conception des mathématiques......Page 14
2. La vie des mathématiciens......Page 16
3. Le travail des mathématiciens et la communauté mathématique......Page 20
4. Maîtres et écoles......Page 22
1. Mathématiques «pures» et mathématiques «appliquées»......Page 28
2. Physique théorique et mathématique......Page 30
3. Les applications des mathématiques à l'époque classique......Page 31
4. Les attaques utilitaristes......Page 35
5. Les dogmes à la mode......Page 36
6. Conclusions......Page 38
Chapitre III : Objets et méthodes des mathématiques classiques......Page 40
1. La naissance des notions pré-mathématiques......Page 42
2. L'idée de démonstration......Page 45
3. Axiomes et définitions......Page 47
4. La géométrie, d'Euclide à Hilbert......Page 49
5. Nombres et grandeurs......Page 53
6. L'idée d'approximation......Page 58
7. L'évolution de l'algèbre......Page 61
8. La méthode des coordonnées......Page 63
9. La notion de limite et le calcul infinitésimal......Page 69
Appendice I. Le calcul des rapports dans le  Livre V d'Euclide......Page 77
Appendice II. La théorie axiomatique des nombres réels......Page 78
Appendice III. L'approximation des racines réelles d'un polynôme......Page 80
Appendice IV. Les raisonnements par «exhaustion»......Page 82
Appendice V. Applications des algorithmes élémentaires du calcul intégral......Page 84
Chapitre IV : Quelques problèmes des mathématiques classiques......Page 88
A. Les nombres parfaits......Page 89
C. Le problème des quatre couleurs......Page 90
D. Les problèmes de géométrie élémentaire......Page 92
A. Les sommes de carrés......Page 93
B. Les propriétés des nombres premiers......Page 98
C. Les débuts de la géométrie algébrique......Page 103
Appendice II. La décomposition de zeta(s) en produit eulérien......Page 104
Appendice III. La méthode de Lagrange pour la résolution de ax² + bxy + cy² = n en nombres entiers......Page 106
Appendice IV. Nombres de Bernoulli et fonction zêta......Page 108
Chapitre V : Nouveaux objets et nouvelles méthodes......Page 112
A. Les nombres complexes......Page 114
B. Les vecteurs......Page 118
C. Le calcul algébrique sur les fonctions......Page 121
D. Permutations et substitutions......Page 122
E. Déplacements et affinités......Page 126
F. Le calcul des congruences de nombres entiers......Page 128
G. Le calcul des classes de formes quadratiques......Page 129
A. Les principales propriétés des lois de composition......Page 130
B. Les groupes de transformations......Page 133
C. Les groupes «abstraits»......Page 137
D. Quaternions et algèbres......Page 138
B. Le langage ensembliste......Page 143
A. La notion d'ensemble......Page 142
C I) Groupes......Page 145
C II) Anneaux......Page 146
C III) Corps......Page 147
C IV) Anneaux et corps non commutatifs......Page 148
D. Structures d'ordre......Page 149
E. Espaces métriques et notions topologiques......Page 150
F. Superposition et dissociation des structures......Page 152
A. Isomorphismes......Page 156
B. Les problèmes de classification......Page 159
C. Les inventions de foncteurs et de structures......Page 161
A. Un panorama des mathématiques......Page 163
B. Spécialistes et généralistes......Page 172
C. L'évolution des théories mathématiques......Page 173
6. Intuition et structures......Page 175
A. Le groupe symétrique......Page 180
B. Le groupe de Galois d'une équation......Page 181
C. Groupes de Galois et groupes d'automorphismes......Page 182
D. Sous-groupes distingués et groupes simples......Page 183
E. Les rotations du cube......Page 184
A. Les congruences modulo un nombre premier......Page 186
B. L'anneau Z[i] des entiers de Gauss......Page 187
C. Les congruences modulo un polynôme......Page 190
D. Les corps de fonctions algébriques......Page 192
E. Remarques sur les corps ordonnés......Page 193
A. Distances sur l'espace des fonctions continues......Page 195
B. Les espaces prébilbertiens......Page 198
C. L'espace de Hilbert......Page 200
D. Les distances p-adiques......Page 201
A. Séries trigonométriques et coefficients de Fourier......Page 202
B. Convergence de la série de Fourier......Page 204
D. Les problèmes de Cantor......Page 208
Chapitre VI : Problèmes et pseudo-problèmes des «fondements»......Page 210
A. Le postulat des parallèles......Page 211
B. La géométrie sur une surface......Page 214
C. Les modèles des géométries non euclidiennes......Page 216
A. Les nombres irrationnels......Page 222
B. Les monstres......Page 223
C. L'axiomatisation de l'arithmétique......Page 225
A. Ensembles infinis et entiers naturels......Page 227
B. La comparaison des ensembles infinis......Page 229
A. Existence et constructions......Page 232
B. Les avatars de la notion d'ensemble et l'axiome du choix......Page 233
C. Les paradoxes et la formalisation......Page 236
A. La formalisation de la logique......Page 238
B. La métamathématique......Page 239
C. Les triomphes de la logique mathématique......Page 241
D. Les réactions des mathématiciens......Page 243
E. Les rapports des mathématiques et de la logique......Page 245
6. La notion de «démonstration rigoureuse»......Page 246
B. Les courbes sur une surface......Page 250
C. Le demi-plan de Poincaré......Page 252
A. La théorie des nombres rationnels......Page 255
C. Le modèle de Méray-Cantor (exposé simplifié)......Page 256
A. L'ensemble R des nombres réels n'est pas dénombrable......Page 257
B. La relation d'ordre entre cardinaux......Page 258
C. L'équipotence de R et R² = RxR......Page 259
D. Le cardinal d'un ensemble de parties......Page 261
Notations courantes......Page 264
Index historique......Page 266
Index terminologique......Page 288