Positive Semigroups of Operators, and Applications

این بدان معناست که نظریه نیمه گروهی ممکن است مستقیماً برای مطالعه معادله I'!.f = h بر روی M اعمال شود. در [45] Yau ثابت می کند که برای h ~ 0، هیچ راه حل غیر ثابت و غیر منفی f در [j' برای 1 < p < 00. از این، Yau این واقعیت هندسی را دریافت می کند که منیفولدهای ریمانی کامل غیر فشرده با انحنای غیرمنفی ریچی باید حجم بی نهایت داشته باشند، نتیجه ای که قبلاً توسط Calabi اعلام شده بود [4]. 6. نکات پایانی در بسیاری از نتایج فوق، مثبت بودن نیمه گروه نقش مهمی ایفا می کند. این نیز برای کارهای اولیه هیله و یوسیدا در رابطه با معادله فوکر-پلانک، یعنی معادله (4) با c = O، البته فقط به طور ضمنی، صادق بود. اما فیلیپس [41] و لومر و فیلیپس [37] بودند. که برای اولین بار به اهمیت خواص اتلافی و پراکندگی ژنراتور در زمینه عملگرهای خطی در فضای Banach توجه کرد. به نظر می رسد که قضایای تولید در مقاله باتی-رابینسون، قطعی ترین قضایا، تا کنون، برای این دسته از عملگرها هستند. نقش اساسی که عملگر بینهایت کوچک ایفا می کند، همچنین برای درک ویژگی های سفارش، در تنظیمات جابجایی و همچنین غیرتبدیل، در تعدادی از مثال ها و کاربردها در مقالات مختلف برجسته شده است، و امید است که این انتشار باشد. مورد علاقه محققان در طیف گسترده ای از زیربخش های ریاضی است.

This means that semigroup theory may be applied directly to the study of the equation I'!.f = h on M. In [45] Yau proves that, for h ~ 0, there are no nonconstant, nonnegative solutions f in [j' for 1 < p < 00. From this, Yau gets the geometric fact that complete noncom pact Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature must have infinite volume, a result which was announced earlier by Calabi [4]. 6. Concluding Remarks In several of the above results, positivity of the semigroup plays an important role. This was also true, although only implicitly, for the early work of Hille and Yosida on the Fokker-Planck equation, i.e., Equation (4) with c = O. But it was Phillips [41], and Lumer and Phillips [37] who first called attention to the importance of dissipative and dispersive properties of the generator in the context of linear operators in a Banach space. The generation theorems in the Batty-Robinson paper appear to be the most definitive ones, so far, for this class of operators. The fundamental role played by the infinitesimal operator, also for the understanding of order properties, in the commutative as well as the noncommutative setting, are highlighted in a number of examples and applications in the different papers, and it is hoped that this publication will be of interest to researchers in a broad spectrum of the mathematical sub-divisions.