Positive 1D and 2D Systems

در دهه گذشته تحولی پویا در سیستم های مثبت مشاهده شده است. به طور کلی، سیستم‌های مثبت سیستم‌هایی هستند که ورودی‌ها، متغیرهای حالت و خروجی‌های آنها فقط مقادیر غیرمنفی می‌گیرند. نمونه‌هایی از سیستم‌های مثبت فرآیندهای صنعتی شامل راکتورهای شیمیایی، مبدل‌های حرارتی و ستون‌های تقطیر، سیستم‌های ذخیره‌سازی، سیستم‌های محفظه‌ای، مدل‌های آلودگی آب و اتمسفر است. انواع مدل های دارای رفتار سیستم خطی مثبت را می توان در مهندسی، علوم مدیریت، اقتصاد، علوم اجتماعی، زیست شناسی و پزشکی و غیره یافت. سیستم های خطی مثبت بر روی مخروط ها تعریف می شوند نه در فضاهای خطی. به همین دلیل است که نظریه سیستم های مثبت پیچیده تر و کمتر پیشرفته است. نظریه سیستم های مثبت دارای عناصر مشترکی با نظریه های سیستم های خطی و غیر خطی است. به طور شماتیک رابطه بین تئوری های سیستم های خطی، غیرخطی و مثبت در شکل زیر نشان داده شده است.

In the last decade a dynamic development in positive systems has been observed. Roughly speaking, positive systems are systems whose inputs, state variables and outputs take only nonnegative values. Examples of positive systems are industrial processes involving chemical reactors, heat exchangers and distillation columns, storage systems, compartmental systems, water and atmospheric pollution models. A variety of models having positive linear system behaviour can be found in engineering, management science, economics, social sciences, biology and medicine, etc. The basic mathematical tools for analysis and synthesis of linear systems are linear spaces and the theory of linear operators. Positive linear systems are defined on cones and not on linear spaces. This is why the theory of positive systems is more complicated and less advanced. The theory of positive systems has some elements in common with theories of linear and non-linear systems. Schematically the relationship between the theories of linear, non-linear and positive systems is shown in the following figure Figure 1.