Pop-Up Geometry: The Mathematics Behind Pop-Up Card

هرکسی که در فروشگاه لوازم التحریر مرور می‌کند، مجموعه‌ای باورنکردنی از کارت‌های پاپ‌آپ را برای هر مناسبتی در دسترس خواهد دید. عملکرد کارت های پاپ آپ و کتاب های پاپ آپ می تواند بسیار پیچیده باشد. در پشت چنین طرح‌هایی، هندسه زیبایی نهفته است که شامل تقاطع دایره‌ها، مخروط‌ها و کره‌ها، حرکات پیوندها و دیگر ساختارها است. هندسه را می‌توان با معادلات جبری مدل‌سازی کرد که جواب‌های آن دینامیک را توضیح می‌دهد. به عنوان مثال، چندین حرکت پاپ آپ به تقاطع سه کره متکی هستند، محاسبه ای که در هر ثانیه برای مکان GPS انجام می شود. اتصال حرکات ساختارهای کارت با جبر و هندسه، ریاضیات انتزاعی را نشان می دهد که محاسبات ملموس را انجام می دهد. با شروع نفروئید در قرن 19، ریاضیات طراحی پاپ آپ اکنون در مرزهای اوریگامی سفت و سخت و پیچیدگی محاسباتی الگوریتمی قرار دارد. همه موضوعات برای کسانی که با ریاضیات دبیرستانی آشنا هستند در دسترس است. بدون نیاز به محاسبه توضیحات با بیش از 140 شکل و 20 انیمیشن تکمیل شده است.

Anyone browsing at the stationery store will see an incredible array of pop-up cards available for any occasion. The workings of pop-up cards and pop-up books can be remarkably intricate. Behind such designs lies beautiful geometry involving the intersection of circles, cones, and spheres, the movements of linkages, and other constructions. The geometry can be modelled by algebraic equations, whose solutions explain the dynamics. For example, several pop-up motions rely on the intersection of three spheres, a computation made every second for GPS location. Connecting the motions of the card structures with the algebra and geometry reveals abstract mathematics performing tangible calculations. Beginning with the nephroid in the 19th-century, the mathematics of pop-up design is now at the frontiers of rigid origami and algorithmic computational complexity. All topics are accessible to those familiar with high-school mathematics; no calculus required. Explanations are supplemented by 140+ figures and 20 animations.