Polynomials, Dynamics, and Choice: The Price We Pay for Symmetry

حل معادلات چند جمله ای یک مسئله ریاضی است که به دوران باستان باز می گردد. گالوا نظریه ای را توسعه داد که در آن مانع حل یک معادله چند جمله ای مجموعه ای از تقارن است. به دست آوردن ریشه مستلزم \"شکستن\" این تقارن است. وقتی درجه یک معادله حداقل پنج باشد، نظریه گالوا ثابت کرد که هیچ فرمولی برای راه‌حل‌هایی مانند راه‌حل‌هایی که در موارد درجه پایین‌تر یافت می‌شود وجود ندارد. با این حال، این نتیجه منفی به این معنی نیست که تمرین حل معادله به پایان می رسد. در یک پیشرفت اخیر، دویل و مک مولن راه حلی برای معادله درجه پنجم ابداع کردند که از هندسه، جبر و دینامیک برای بهره برداری از تقارن ایکو وجهی استفاده می کند.

چند جمله ای ها، دینامیک و انتخاب. : قیمتی که ما برای تقارن می پردازیم در دو بخش سازماندهی شده است، که قسمت اول شرحی از تقارن چند جمله ای را ارائه می دهد که بر ملاحظات جبر و هندسه متکی است. دومی فراتر از چند جمله‌ای‌ها به فضاهایی می‌پردازد که شامل انتخاب‌هایی از تصمیم‌های پیش پا افتاده تا الگوریتم‌های تکاملی است که نتایج بهینه را جستجو می‌کنند. دو الگوریتم در قسمت اول چارچوب هایی را ارائه می دهند که مسائل ساختاری را که می تواند در تنظیمات مشورتی به وجود بیاید را نشان می دهد. در حالی که تصمیم‌گیری از نظر ریاضی مورد توجه قرار گرفته است، اما نکته جدید در اینجا استفاده از الگوریتم‌های حل معادله برای روشن کردن چنین مسائلی است.

ویژگی‌ها

• موضوع حل معادلات چند جمله‌ای را که برای بسیاری از افراد آشناست، به گونه‌ای بررسی می‌کند که به‌طور چشمگیری با آنچه که در آن دیده‌اند متفاوت است. مدرسه
• قابل دسترسی برای مخاطبان عام با پیشینه ریاضی محدود
• < span>نمودارها و گرافیک های فراوان.

Working out solutions to polynomial equations is a mathematical problem that dates from antiquity. Galois developed a theory in which the obstacle to solving a polynomial equation is an associated collection of symmetries. Obtaining a root requires "breaking" that symmetry. When the degree of an equation is at least five, Galois Theory established that there is no formula for the solutions like those found in lower degree cases. However, this negative result doesn't mean that the practice of equation-solving ends. In a recent breakthrough, Doyle and McMullen devised a solution to the fifth-degree equation that uses geometry, algebra, and dynamics to exploit icosahedral symmetry.

Polynomials, Dynamics, and Choice: The Price We Pay for Symmetry is organized in two parts, the first of which develops an account of polynomial symmetry that relies on considerations of algebra and geometry. The second explores beyond polynomials to spaces consisting of choices ranging from mundane decisions to evolutionary algorithms that search for optimal outcomes. The two algorithms in Part I provide frameworks that capture structural issues that can arise in deliberative settings. While decision-making has been approached in mathematical terms, the novelty here is in the use of equation-solving algorithms to illuminate such problems.

Features

• Treats the topic―familiar to many―of solving polynomial equations in a way that’s dramatically different from what they saw in school
• Accessible to a general audience with limited mathematical background
• Abundant diagrams and graphics.