Planar Maps, Random Walks and Circle Packing: École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XLVIII - 2018

این کتاب دسترسی باز بر تعامل بین پیاده‌روی‌های تصادفی روی نقشه‌های مسطح و قضیه بسته‌بندی دایره‌ای Koebe تمرکز دارد. موضوعات دیگری که تحت پوشش قرار می‌گیرند شامل شبکه‌های الکتریکی، قضیه He-Schramm در بسته‌بندی دایره‌های بی‌نهایت، درخت‌های پوشا یکنواخت نقشه‌های مسطح، محدودیت‌های محلی نقشه‌های مسطح محدود و تکرار تقریباً مطمئن پیاده‌روی‌های تصادفی ساده در این محدوده‌ها هستند. یکی از اهداف اصلی آن ارائه یک اثبات مستقل است که ثابت می کند مثلث مسطح بی نهایت یکنواخت (UIPT) تقریباً به طور قطع تکرار می شود. اثبات کامل همه گزاره‌ها ارائه شده است.

نقشه مسطح نموداری است که می‌توان آن را در صفحه بدون لبه‌های متقاطع ترسیم کرد، همراه با مشخصاتی از ترتیب چرخه‌ای یال‌هایی که به هر راس برخورد می‌کنند. یکی از روش‌های قابل استفاده برای رسم نمودارهای مسطح توسط قضیه بسته‌بندی دایره‌ای کوبه (1936) ارائه شده است. ویژگی‌های هندسی مختلف این نقشه‌ها، مانند وجود نقاط تجمع و مرزها روی شعاع‌ها، اطلاعات احتمالی مهمی را رمزگذاری می‌کنند، مانند تکرار/گذرا بودن پیاده‌روی‌های تصادفی ساده و اتصال جنگل پوشا یکنواخت. این ارتباط عمیق به ویژه برای مطالعه نقشه‌های مسطح تصادفی مثمر ثمر است.

این کتاب برای محققان و دانشجویان فارغ‌التحصیل در ریاضیات و برای یک دوره یک ترم مناسب است. فقط دانش پایه از تئوری احتمال در مقطع کارشناسی ارشد فرض شده است.

This open access book focuses on the interplay between random walks on planar maps and Koebe’s circle packing theorem. Further topics covered include electric networks, the He–Schramm theorem on infinite circle packings, uniform spanning trees of planar maps, local limits of finite planar maps and the almost sure recurrence of simple random walks on these limits. One of its main goals is to present a self-contained proof that the uniform infinite planar triangulation (UIPT) is almost surely recurrent. Full proofs of all statements are provided.

A planar map is a graph that can be drawn in the plane without crossing edges, together with a specification of the cyclic ordering of the edges incident to each vertex. One widely applicable method of drawing planar graphs is given by Koebe’s circle packing theorem (1936). Various geometric properties of these drawings, such as existence of accumulation points and bounds on the radii, encode important probabilistic information, such as the recurrence/transience of simple random walks and connectivity of the uniform spanning forest. This deep connection is especially fruitful to the study of random planar maps.

The book is aimed at researchers and graduate students in mathematics and is suitable for a single-semester course; only a basic knowledge of graduate level probability theory is assumed.