Physiques des Solitons

Avant-propos......Page 6
Table des matières......Page 8
Introduction......Page 16
I Les différentes classes de solitons......Page 20
1.1.1 Les observations de John Scott Russell......Page 22
1.1.2 L\'interprétation de Korteweg-de Vries......Page 27
1.1.3 Propriétés de l’équation de KdV et de ses solutions......Page 28
1.2.1 Solutions A profil constant......Page 33
1.2.2 Solutions multisolitons......Page 36
1.3 Relations de conservation......Page 39
1.4.1 Description du problème physique......Page 40
1.4.2 Approximation linéaire Relation de dispersion......Page 42
1.4.3 L\'équation non-linéaire dans la limite des milieux continus......Page 43
1.4.4 Les solutions quasi-solitons de la chaîne électrique......Page 45
1.4.5 La limite Korteweg-de Vries pour la chaîne électrique......Page 46
1.5 Orides de pression sanguine......Page 48
1.6 Orides internes en océanographie......Page 54
1.7 La généralité de l\'équation de Korteweg-de Vries......Page 56
2.1 Un exemple mécanique simple : chaîne de pendules couplés......Page 58
2.2.1 Topologie du paysage énergétique......Page 60
2.2.2 Les solutions de faible amplitude : la limite linéaire......Page 62
2.2.3 Solutions solitons......Page 63
2.2.4 Énergie du soliton......Page 67
2.2.5 Solutions rnultisolitons......Page 69
2.2.6 La solution breather......Page 71
2.3 Étude des jonctions Josephson longues......Page 75
2.3.1 Équation dynamique de la jonction......Page 76
2.3.2 Applications aux propriétés d\'une jonction Josephson......Page 82
2.3.3 Signification physique du soliton : fluxori......Page 84
2.4 Autres exemples de solitons topologiques......Page 85
2.4.1 Le modèle......Page 86
2.4.2 Le rriodèle double sine-Gordon (DSG)......Page 87
3 L\'équation de Schrodinger non-linéaire......Page 90
3.1 Ondes nori-linéaires dans la chaîne de pendules......Page 91
3.2 Propriétés de l\'équation de NLS......Page 95
3.2.1 La solution soliton de l\'équation de NLS......Page 96
3.2.2 La localisation de l’énergie par instabilité\r modulationnelle......Page 99
3.2.3 Relation entre le breather de SG et le soliton de NLS......Page 102
3.3.1 Le lagrarigieri de NLS......Page 104
3.3.2 L\'hamiltonien de NLS......Page 105
3.4.1 Rappel du théorème......Page 108
3.4.2 Application à l\'équation NLS......Page 109
3.5 Lignes électriques non-linéaires......Page 110
3.6.1 Origine de la riori-linéarité : polarisation non-linéaire......Page 111
3.6.2 La structure du champ électrique dans la fibre......Page 114
3.6.3 La propagation non-linéaire le long de la fibre......Page 117
3.6.4 La confrontation avec l’expérience......Page 122
3.6.5 Application aux communications par fibre optique......Page 124
3.7 Auto-focalisation en optique :\r équation NLS à deux dimensions spatiales......Page 125
4.1 Introduction......Page 130
4.2.1 Physique d’un plasma......Page 131
4.2.2 Températures et équations d\'état......Page 133
4.2.3 Passage à des équations sans dimension......Page 135
4.3 Étude de la dynamique linéaire......Page 136
4.4.1 Le plasma peut être décrit par l’équation de KdV......Page 137
4.5 Obtention de l’équation de NLS......Page 140
4.6 Observations expérimentales......Page 144
4.7 Discussion......Page 146
4.7.1 Les ondes hydrodynamiques......Page 147
4.7.2 Les lignes électriques......Page 148
II Méthodes mathématiques\r d’étude des solitons......Page 152
Avant-propos......Page 154
5.1 Spectre des excitations d\'un soliton sine-Gordon......Page 156
5.2.1 Presentation......Page 159
5.2.2 Exemple : réponse du soliton à une force extérieure\r en présence de dissipation......Page 160
5.3 Spectre des excitations d’un soliton 44......Page 165
6.1 Soliton sine-Gordon en présence\r d’une impureté : méthode du lagrangien\r effectif......Page 172
6.2 Amélioration de la méthode : introduction\r d’une seconde coordonnée collective......Page 176
7.1.1 Le principe de la méthode inverse......Page 182
7.1.2 L’inversion des données de diffusion......Page 184
7.1.3 L’évolution temporelle des données de diffusion......Page 186
7.1.4 Exemples d\'applications......Page 189
7.2 La méthode inverse : une <{ analyse\r de Fourier >> pour les problèmes\r non-linéaires......Page 192
7.2.1 Une étape de la généralisation : la méthode de Lax......Page 193
7.2.2 La méthode (AKNS)\r Ablowitz-Kaup-Newell-Segur......Page 196
7.2.3 La méthode inverse et la théorie des perturbations......Page 198
III Exemples en physique des solides......Page 200
Avant-propos......Page 202
8 Le problème de Fermi-Pasta-Ulam......Page 204
9.1 Déformations plastiques des cristaux......Page 214
9.2 Un modèle unidimensionnel :\r le modèle de F’renkel-Kontorova......Page 217
9.3 L\'approximation des milieux continus :\r l\'équation sine-Gordon......Page 219
9.4 Les dislocations sont-elles des solitons ?......Page 220
9.5 Les applications......Page 224
10.1.1 Ferroélectrique de type déplacement :\r le titanate de baryum......Page 228
10.1.2 Ferroélectrique de type ordre-désordre :\r le nitrite de sodium......Page 229
10.1.3 Les parois de domaines ferroélectriques......Page 231
10.2 Modèle unidiniensionriel de ferroélectrique......Page 232
10.3 Structure des parois de domaines......Page 233
10.3.2 Les solutions de grande amplitude :\r structure des parois de domaines ferroélectriques......Page 234
10.3.3 Énergie de paroi......Page 236
10.4 Réponse diélectrique d’un matériau\r ferroélectrique......Page 237
10.5.1 La fonction de corrélation......Page 239
10.5.2 Le modèle du gaz de solitons......Page 240
10.5.3 La méthode de l’intégrale de transfert......Page 242
10.5.4 Détermination du spectre de l’opérateur\r de transfert......Page 246
10.5.5 Conclusion......Page 250
11.1 Exemples en physique des matériaux......Page 252
11.2 Le modèle de Frerikel et Kontorova......Page 253
11.3 Phases commensurables......Page 254
11.4 La transition commensurable-incommensurable......Page 255
11.5 Structure de la phase iriconimensurable......Page 256
11.6 Calcul de......Page 258
11.7 Diagramme de phases......Page 260
11.8 Dynamique de la phase incommensurable......Page 262
11.9 Formation des discommensurations......Page 265
11.10 Conclusion......Page 268
12.1 Ferromagnétisme et antiferroniagnétisme......Page 270
12.2 Équations décrivant la dynamique\r d’une chaîne de spins......Page 272
12.3.1 Les magnons......Page 275
12.3.2 Les solitons......Page 277
12.4.1 Ordres de grandeur......Page 279
12.4.2 Simulations numériques......Page 281
12.4.3 Observations expérimentales......Page 283
12.5 Solitons dans les chaînes de spins\r ant iferromagnét iques......Page 285
13.1.1 Le polyacétylène......Page 288
13.1.2 Les autres polymères conducteurs......Page 290
13.2 Le modèle physique du polyacétylène......Page 291
13.2.2 L’hamiltonien électronique......Page 292
13.3 L’état fondamental du polyacétylène......Page 293
13.3.1 Rappel de théorie des bandes......Page 294
13.3.2 La structure de bandes du polyacétylèrie......Page 299
13.4.1 La méthode......Page 302
13.4.2 La solution soliton......Page 304
13.5.1 Le principe......Page 306
13.5.2 La dynamique du soliton chargé......Page 309
13.6.1 Le mode d’oscillation de la pente du soliton......Page 311
13.6.2 La solution linéarisée......Page 312
13.6.3 L’observation du mode interne du soliton......Page 313
13.7 Autres excitations non-linéaires......Page 314
IV E x i t at ions non-linéaires\r dans les molécules\r biologiques......Page 316
Avant-propos......Page 318
14.1 Le mécanisme proposé par Davydov......Page 322
14.1.1 L’hamiltonien de Davydov......Page 324
14.1.2 La méthode variationnelle de l’ansatz D2......Page 327
14.1.3 Les équations d’évolution des ,û,(t)......Page 330
14.1.4 Les équations d’évolution des a,(t)......Page 331
14.2 Étude des équations de Davydov......Page 337
14.3 Le soliton de Davydov existe-t-il‚!......Page 340
14.4 Un système physique modèle :\r le cristal d’acétanilide......Page 341
15 Dynamique non-linéaire de l\'ADN......Page 348
15.1.1 Structure statique de l\'ADN......Page 349
15.1.2 Les différents processus dynamiques......Page 350
15.1.3 Le modèle......Page 355
15.2.1 Équations adimensionnées......Page 360
15.2.2 Solution non-linéaire des équations\r du mouvement......Page 361
15.2.3 Dynamique du modèle en contact avec un bain\r thermique......Page 364
15.3 Physique statistique de la dénaturation\r thermique......Page 368
15.3.1\r Étude qualitative de la transition de phase......Page 369
15.3.2 Le problème associé de l’oscillateur de Morse......Page 372
15.3.3 Le paramètre d\'ordre pour l\'ADN......Page 373
15.4.1 La paroi de domaine......Page 375
15.4.2 Fluctuations autour de la paroi de domaine......Page 377
15.4.3 Énergie libre de la paroi de domaine......Page 379
15.4.4 Discussion......Page 382
Conclusion : Les solitons existent-ils ?......Page 386
Appendices......Page 390
A.1 Équations de base et conditions aux limites......Page 392
A .l .l Condition à la limite cinématique......Page 393
A.2 Formulation mathématique du problème......Page 394
A.2.1 Les équations de définition du problème......Page 395
A.2.3 Équations sans dimension......Page 396
A.2.4 Hypothèses d\'échelle......Page 397
A.2.5 Le potentiel des vitesses......Page 398
A.3 Étude de la limite linéaire......Page 399
A.4 L’équation non-linéaire\r en eau peu profonde......Page 400
B.1 Formulation lagrarigienne......Page 404
B. 2 Formulation hamilt onienne......Page 406
C États cohérents de l’oscillateur\r harmonique......Page 408
Table des portraits......Page 412
Bibliographie......Page 414
Index......Page 424