Physics of Intensity Dependent Beam Instabilities

Contents......Page 12
Preface......Page 8
1.1 Wake Fields......Page 20
1.1.1 Two Approximations......Page 21
1.1.2 Panofsky–Wenzel Theorem......Page 22
1.1.3 Cylindrically Symmetric Chamber......Page 25
1.2 Coupling Impedances......Page 30
1.3.1 Coherent Loss......Page 38
1.3.2 Incoherent Loss......Page 41
1.4 Exercises......Page 45
1.5 Appendix: A Collection of Wakes and Impedances......Page 48
References......Page 54
Bibliography......Page 55
2.1.1 Momentum Compaction......Page 56
2.1.2 Equations of Motion......Page 59
2.1.2.1 Synchrotron Oscillation......Page 63
2.2 Mode Approach......Page 66
2.2.1 Vlasov Equation......Page 67
2.2.2 Coasting Beams......Page 68
2.3 Static Solution......Page 69
2.4 Reactive Force......Page 71
2.4.1 Space-Charge Impedance......Page 72
2.4.2 Other Distributions......Page 74
2.5.1 Haissinski Equation......Page 77
2.5.2 Elliptical Phase-Space Distribution......Page 80
2.6.1 Incoherent Synchrotron Tune Shift......Page 83
2.6.2 Coherent Synchrotron Tune Shift......Page 87
2.7.1 Space-Charge Cancellation......Page 88
2.7.2 Ferrite Insertion......Page 90
2.8 Potential-Well Distortion in Barrier RF......Page 94
2.8.2 Asymmetric Beam Profile......Page 95
2.9 Exercises......Page 99
Bibliography......Page 105
3.1 Static Transverse Forces......Page 108
3.1.1 Electric Image Forces......Page 110
3.1.2 Magnetic Image Forces......Page 112
3.2.1 Incoherent Self-Force Tune Shift......Page 115
3.2.2 Tune-Shift Distribution......Page 120
3.2.3 Incoherence versus Coherence......Page 125
3.3.1 Image Formation......Page 126
3.3.2 Coasting Beams......Page 128
3.3.3 Bunched Beams......Page 129
3.4 Other Vacuum Chamber Geometries......Page 131
3.4.1 Circular Vacuum Chamber......Page 132
3.4.2 Elliptical Vacuum Chamber......Page 133
3.4.3 Rectangular Vacuum Chamber......Page 136
3.4.4 Closed Yoke......Page 139
3.5.1 Impedance from Images......Page 140
3.5.2 Impedance from Self-Force......Page 143
3.6 Exercises......Page 146
Bibliography......Page 151
4.1 The Integer Resonance......Page 152
4.2 The Kapchinsky–Vladimirsky Equation......Page 155
4.2.2 One Dimension......Page 158
4.2.3 Two Dimensions......Page 160
4.3.1 One Dimension......Page 163
4.3.2 Two Dimensions......Page 167
4.3.2.1 Equivalent- Unijorm-Beam......Page 170
4.4.1 One Dimension......Page 171
4.4.2 Two Dimensions......Page 172
4.5 Application to Synchrotrons......Page 175
4.6 Exercises......Page 176
Bibliography......Page 177
5.1 Microwave Instability......Page 178
5.1.1 Dispersion Relation......Page 181
5.1.2 Stability Curve and Keil–Schnell Criterion......Page 185
5.1.4 Self-Bunching......Page 189
5.1.5 Overshoot......Page 192
5.2 Observation and Cure......Page 193
5.3.1 Microwave Instability......Page 196
5.3.2 Cause of Instability......Page 198
5.3.3 Heating the Ferrite......Page 202
5.3.4 Application at the PSR......Page 206
5.4 Exercises......Page 209
Bibliography......Page 211
6.1.1 A Particle in Synchrotron Oscillation......Page 212
6.1.2 Coherent Azimuthal Modes......Page 218
6.1.3 Measurement of Coherent Modes......Page 220
6.2.1 Dispersion Relation of a Sideband......Page 222
6.2.2 Landau Damping of a Sideband......Page 227
6.2.2.1 Equi-Growth Contours......Page 231
6.2.3 Stability of a Bunch......Page 232
6.2.3.1 Higher Azimuthal Modes......Page 234
6.2.3.2 Coherent Shift from Mean Incoherent Frequency......Page 236
6.2.3.3 Bi- Gaussian Distribution......Page 237
6.3 Coupling of Azimuthal Modes......Page 238
6.4 Bunch Lengthening and Scaling Law......Page 243
6.5 Sawtooth Instability......Page 247
6.5.1 Possible Cure......Page 252
6.5.1.1 Precaution at The Next Linear Collider (NLC)......Page 254
6.6 Exercises......Page 256
Bibliography......Page 257
7.1 Equivalent Circuit......Page 260
7.2 Beam-Loading in an Accelerator Ring......Page 266
7.2.1 Steady-State Compensation......Page 268
7.3.1 Phase Stability at Low Intensity......Page 276
7.3.2 Phase Stability at High Intensity......Page 277
7.3.3 Robinson’s Damping......Page 281
7.4 Transient Beam-Loading......Page 282
7.4.1 Fundamental Theorem of Beam-Loading......Page 283
7.4.2 From Transient to Steady State......Page 285
7.4.2.1 Limiting Case with 60 -+ 0......Page 288
7.4.3 Transient Beam-Loading of a Bunch......Page 289
7.4.3.1 Gaussian Distribution......Page 290
7.4.3.2 Parabolic Distribution......Page 292
7.4.3.3 Cosine-Square Distribution......Page 293
7.4.3.4 Cosine Distribution......Page 295
7.4.4 Transient Compensation......Page 297
7.4.4.1 Coupled-Bunch Instabilities......Page 301
7.5.1 Fermilab Main Ring......Page 303
7.5.2 Fermilab Booster......Page 304
7.5.3 Fermilab Main Injector......Page 305
7.5.4 Proposed Prebooster......Page 307
7.5.4.1 The Ramp Curve......Page 308
7.5.4.2 The RF System......Page 309
7.5.4.3 Fixed-Frequency RF Cavities......Page 310
7.6 Exercises......Page 315
Bibliography......Page 318
8.1 Sacherer’s Integral Equation......Page 320
8.1.1 Frequency Domain......Page 323
8.1.2 Synchrotron Tune Shift......Page 327
8.1.3 Robinson’s Instability......Page 328
8.1.3.1 Point-Bunch Theory......Page 330
8.2 Time Domain Derivation......Page 334
8.3 Observation and Cures......Page 340
8.3.1 Higher-Harmonic Cavity......Page 343
8.3.2 Passive Landau Cavity......Page 345
8.3.3 Rf-Voltage Modulation......Page 355
8.3.4 Uneven Fill......Page 358
8.3.4.1 Modulation Coupling......Page 363
8.3.4.2 Landau Damping......Page 365
8.3.4.3 Applications......Page 367
8.4 Exercises......Page 371
Bibliography......Page 374
9.1 Transverse Focusing and Transverse Wake......Page 378
9.2 Betatron Fast and Slow Waves......Page 380
9.3 Separation of Transverse and Longitudinal Motions......Page 383
9.4 Sacherer’s Integral Equation......Page 385
9.5 Solution of Sacherer’s Integral Equations for Radial Modes......Page 389
9.5.1 Chebyshev Modes......Page 391
9.5.2 Legendre Modes......Page 392
9.5.3 Hermite Modes......Page 393
9.5.4 Longitudinal Integral Equation......Page 394
9.6.1 Broadband Impedance......Page 395
9.6.2 Narrowband Impedance......Page 399
9.7 Approximate Solutions and Effective Impedances......Page 400
9.7.1 Sacherer’s Sinusoidal Modes......Page 402
9.8 Chromaticity Frequency Shift......Page 405
9.9 Exercises......Page 408
Bibliography......Page 409
10.1 Resistive-Wall Instabilities......Page 412
10.1.1 Resistive-Wall Impedance at Low Frequencies......Page 417
10.1.2 Bypass Inductance......Page 419
10.2.1 Wave Equations......Page 426
10.2.2 Source Fields......Page 430
10.2.3 Thin-Wall Model......Page 433
10.2.4 Thick-Wall Model......Page 437
10.2.5 Layered Wall......Page 445
10.2.6 Laminations......Page 446
10.3.1 Fermilab Booster......Page 447
10.3.1.1 Transverse Coupled-Bunch Instabilities......Page 448
10.3.1.2 Tune-Shift Measurement......Page 451
10.3.2 Bench Measurement......Page 456
10.4 Narrow Resonances......Page 458
10.5 Exercises......Page 460
Bibliography......Page 462
11.1 Transverse Mode-Coupling......Page 464
11.2 Space-Charge and Mode-Coupling......Page 470
11.3 Two-Particle Model......Page 475
11.4 Longitudinal Mode-Coupling......Page 478
11.4.1 Long Bunches......Page 479
11.4.2 Short Bunches......Page 481
11.5.1 High Energy Accelerators......Page 483
11.5.2 TMCI Threshold for Present Proton Machines......Page 486
11.5.3 Possible Observation......Page 487
11.6 Exercises......Page 489
Bibliography......Page 491
12.1 Transverse Head-Tail......Page 492
12.1.1 Two-Particle Model......Page 493
12.1.2 For a Bunch......Page 497
12.1.3 Application to the Tevatron......Page 500
12.1.3.1 Measurements by Ivanov, Burov, and Tan......Page 505
12.2 Longitudinal Head-Tail......Page 508
12.3 Exercises......Page 514
Bibliography......Page 516
13 Landau Damping......Page 518
13.1 Harmonic Beam Response......Page 519
13.2 Shock Response......Page 522
13.3 Landau Damping......Page 526
13.4 Transverse Bunched Beam Instabilities......Page 529
13.5 Longitudinal Bunched Beam Instabilities......Page 535
13.6 Transverse Unbunched Beam Instabilities......Page 538
13.6.1 Resistive-Wall Instabilities......Page 542
13.6.1.1 Instability of Proton Beam......Page 544
13.6.1.2 Instabilities of Antiproton Beam......Page 549
13.7 Longitudinal Unbunched Beam Instabilities......Page 552
13.8 Beam Transfer Function and Impedance Measurements......Page 556
13.9 Decoherence versus Landau damping......Page 562
13.9.1 Landau damping of a beam......Page 564
13.9.2 Longitudinal Decoherence......Page 569
Bibliography......Page 574
14 Beam Breakup......Page 576
14.1 Two-Particle Model......Page 577
14.2.1 Balakin–Novokhatsky–Smirnov Damping......Page 580
14.2.2 Autophasing......Page 582
14.3.1 Adiabatic Damping......Page 586
14.3.2 Detuned Cavity Structure......Page 588
14.3.3 Multi-Bunch Breakup......Page 592
14.3.4 Analytic Treatment......Page 594
14.3.4.1 Amount of Energy Chirp......Page 600
14.3.4.2 Emittance Growth......Page 602
14.3.4.3 The Quality Factor......Page 603
14.3.5 Misaligned Linac......Page 606
14.3.5.1 Comparison with Simulations......Page 608
14.3.5.2 Application......Page 610
14.4 Quadrupole Wake......Page 612
14.4.1 Two-Particle Model......Page 615
14.4.2 Observation......Page 618
14.5 Exercises......Page 621
Bibliography......Page 624
15.1 Trapped Electrons......Page 628
15.1.2 Electron Bounce Frequency......Page 631
15.1.2.1 Long bunches......Page 633
15.1.2.2 Beam Leaked into Gap......Page 635
15.1.2.3 A Train of Short Bunches......Page 636
15.1.3 Coupled-Centroid Oscillation......Page 638
15.1.3.1 Landau Damping......Page 642
15.1.4.1 Primary Electrons......Page 647
15.1.4.2 Secondary-Electron Yield......Page 650
15.1.4.3 Electron-Cloud Build-up and Multipactoring......Page 653
15.1.4.4 Simulations......Page 656
15.1.4.5 Betatron Tune Shifts......Page 659
15.1.5 Discussion and Conclusion......Page 660
15.2 Fast Beam-Ion Instability......Page 662
15.2.1.1 The Ion Equation of motion......Page 663
15.2.1.2 The Trapped-Ion Distribution......Page 665
15.2.1.3 The Electron Equation of Motion......Page 666
15.2.1.4 Coupled- Ion- Beam Solution......Page 667
15.2.1.5 A Train of Bunches......Page 671
15.2.1.6 Spectrum of Electron Beam......Page 672
15.2.1.7 Possible Cures......Page 673
15.2.2 Application to Electron/Positron Rings......Page 676
15.2.2.1 Observation at ALS......Page 678
15.2.3 Application to Fermilab Linac......Page 681
15.2.3.1 Ionization Cross section......Page 683
15.2.3.2 Ion Bounce Frequencies......Page 685
15.2.3.3 Growth Times......Page 687
15.2.3.4 Comments......Page 688
15.2.4 Application to Fermilab Designed Damping Ring......Page 691
15.3 Half-Integer Stopband......Page 698
15.4 Exercises......Page 703
Bibliography......Page 705
16 Instabilities Near and Across Transition......Page 710
16.1.1 Nonadiabatic Time......Page 711
16.1.2 Simple Estimation......Page 713
16.1.3 More Sophisticated Approximation......Page 717
16.2 Space-Charge Mismatch......Page 726
16.2.1 Mathematical Formulation......Page 729
16.2.2 Transition Jump......Page 732
16.3 Negative-Mass Instability......Page 733
16.3.1 Growth at Cutoff......Page 734
16.3.2 Schottky-Noise Model......Page 745
16.3.3 Self-Bunching Model......Page 760
16.4 Instability of Isochronous Rings......Page 763
16.4.1 Higher-Order Momentum Compaction......Page 764
16.4.2 nl-Dominated Bucket......Page 767
16.4.3 n2-Dominated Bucket......Page 770
16.4.4 Microwave Instability Near Transition......Page 772
16.5 Exercises......Page 783
Bibliography......Page 788
Index......Page 790