Pfaffian Systems, k-Symplectic Systems

تئوری شاخ و برگ ها و فرم های تماس اخیراً چنان پیشرفت بزرگی را تجربه کرده اند که طبیعی است که در زمینه مکانیک کاربرد داشته باشند. آنها بخشی از چارچوب چیزی را تشکیل می دهند که ژان دیودون آن را "نظریه بزرگ الی کارتان در مورد سیستم های فافی" می نامد، و حتی امروزه نیز هنوز تا پایان یافتن آن فاصله زیادی دارد. کار مرجع اصلی است. بدون شک الی کارتان در سیستم های Pfaffian با پنج متغیر. در این کتاب، پایه‌های یک طبقه‌بندی جبری این سیستم‌ها، روش‌های کاهش آن‌ها، و برجسته‌کردن اولین بنیادی در انواع آن‌ها را کشف می‌کند. این کار، حتی امروز، میدان عظیمی از تحقیق و رمز و راز یک شکل سه تایی شامل متغیرهای دیفرانسیل سیستم‌ها با پنج متغیر را به روی ما باز می‌کند، همیشه هرکسی را که می‌خواهد در مورد آنها بیابد خوشحال می‌کند. یکی از اهداف این یادداشت، ارائه این اثر Cartan است - که Goursat در سخنرانی‌های خود در مورد سیستم‌های Pfaffian به طور تحلیلی‌تر به آن پرداخته است - تا طبقه‌بندی‌هایی که در حال حاضر شناخته شده است را توضیح دهد. فرم های تئوری و فرم های تماس در مطالعه سیستم های Pfaffian کاملاً یکپارچه رتبه یک ظاهر می شوند. در هر یک از این موقعیت ها یک مدل محلی وجود دارد که یا با قضیه فروبنیوس یا با قضیه داربوکس توصیف شده است. این نوع قضیه است که مطلوب است برای یک سیستم Pfaffian غیر قابل ادغام وجود داشته باشد که همچنین ممکن است رتبه ای بیشتر از یک داشته باشد.

The theory of foliations and contact forms have experienced such great de­ velopment recently that it is natural they have implications in the field of mechanics. They form part of the framework of what Jean Dieudonne calls "Elie Cartan's great theory ofthe Pfaffian systems", and which even nowa­ days is still far from being exhausted. The major reference work is. without any doubt that of Elie Cartan on Pfaffian systems with five variables. In it one discovers there the bases of an algebraic classification of these systems, their methods of reduction, and the highlighting ofthe first fundamental in­ variants. This work opens to us, even today, a colossal field of investigation and the mystery of a ternary form containing the differential invariants of the systems with five variables always deligthts anyone who wishes to find out about them. One of the goals of this memorandum is to present this work of Cartan - which was treated even more analytically by Goursat in its lectures on Pfaffian systems - in order to expound the classifications currently known. The theory offoliations and contact forms appear in the study ofcompletely integrable Pfaffian systems of rank one. In each of these situations there is a local model described either by Frobenius' theorem, or by Darboux' theorem. It is this type of theorem which it would be desirable to have for a non-integrable Pfaffian system which may also be of rank greater than one.