Perturbation Methods for Differential Equations

در مسائل غیرخطی، اساساً پدیده های جدیدی رخ می دهند که جایی در مسائل خطی مربوطه ندارند. بنابراین، در مطالعه مسائل غیرخطی، هدف اصلی معرفی روش‌هایی نیست که دقت روش‌های خطی را بهبود می‌بخشد، بلکه تمرکز توجه بر آن دسته از ویژگی‌های غیرخطی‌ها است که منجر به پدیده‌های کاملاً جدیدی می‌شوند. از جمله موارد اخیر - * وجود راه حل مسائل تناوبی برای همه فرکانس ها به جای مجموعه ای از مقادیر مشخصه، * وابستگی دامنه به فرکانس، * حذف بی نهایت های رزونانس، * ظهور پدیده های پرش، * شروع حرکات آشوبی. از سوی دیگر، مسائل ریاضی مرتبط با غیرخطی‌ها آنقدر پیچیده هستند که نظریه جامع پدیده‌های غیرخطی قابل بحث نیست. در نتیجه، یک رویکرد عملی این است که به چیزی کمتر از کلیت کامل بسنده کنیم. بنابراین، مطالعه رفتار جهانی راه‌حل‌های یک مسئله غیرخطی را رها می‌کنیم و به دنبال راه‌حل‌های غیرخطی در همسایگی (یا به عنوان آشفتگی در مورد) یک راه‌حل خطی شناخته‌شده می‌گردیم. این ایده اصلی پشت حل آشفته یک مسئله غیرخطی است.

In nonlinear problems, essentially new phenomena occur which have no place in the corresponding linear problems. Therefore, in the study of nonlinear problems the major purpose is not so much to introduce methods that improve the accuracy of linear methods, but to focus attention on those features of the nonlinearities that result in distinctively new phenomena. Among the latter are - * existence of solutions ofperiodic problems for all frequencies rather than only a setofcharacteristic values, * dependenceofamplitude on frequency, * removal ofresonance infinities, * appearance ofjump phenomena, * onsetofchaotic motions. On the other hand, mathematical problems associated with nonlinearities are so complex that a comprehensive theory of nonlinear phenomena is out of the question.' Consequently, one practical approach is to settle for something less than complete generality. Thus, one gives up the study of global behavior of solutions of a nonlinear problem and seeks nonlinear solutions in the neighborhood of (or as perturbations about) a known linear solution. This is the basic idea behind a perturbative solutionofa nonlinear problem.