Periodic Solutions of Nonlinear Dynamical Systems: Numerical Computation, Stability, Bifurcation and Transition to Chaos

چرخه‌های محدود یا به‌طور کلی‌تر، راه‌حل‌های دوره‌ای سیستم‌های دینامیکی غیرخطی در بسیاری از زمینه‌های کاربردی مختلف رخ می‌دهند. اگرچه، ادبیات گسترده ای در مورد راه حل های دوره ای، به ویژه در مورد قضایای وجود وجود دارد، ارتباط با کاربردهای فیزیکی و فنی نیاز به بهبود دارد. رفتار انشعاب راه‌حل‌های تناوبی با استفاده از تغییرات پارامتر، نقش مهمی در انتقال به آشوب بازی می‌کند، بنابراین الگوریتم‌های عددی برای محاسبه راه‌حل‌های تناوبی و بررسی پایداری آنها بر مبنای عددی ضروری هستند. از نقطه نظر فنی، سیستم های دینامیکی با ناپیوستگی ها مورد توجه ویژه هستند. ناپیوستگی ها ممکن است با توجه به متغیرهایی که منیفولد فضای پیکربندی را توصیف می کنند یا/و با توجه به متغیرهای میدان برداری سیستم دینامیکی رخ دهد. روش تیراندازی چندگانه در محاسبات چرخه های حدی به صورت عددی استفاده می شود و برای سیستم هایی با ناپیوستگی اصلاح می شود. این نظریه توسط مثال‌های متعدد، عمدتاً از حوزه ارتعاشات غیرخطی پشتیبانی می‌شود. این متن به ریاضیدانان علاقه مند به مسائل مهندسی و همچنین مهندسانی که با دینامیک غیرخطی کار می کنند، می پردازد.

Limit cycles or, more general, periodic solutions of nonlinear dynamical systems occur in many different fields of application. Although, there is extensive literature on periodic solutions, in particular on existence theorems, the connection to physical and technical applications needs to be improved. The bifurcation behavior of periodic solutions by means of parameter variations plays an important role in transition to chaos, so numerical algorithms are necessary to compute periodic solutions and investigate their stability on a numerical basis. From the technical point of view, dynamical systems with discontinuities are of special interest. The discontinuities may occur with respect to the variables describing the configuration space manifold or/and with respect to the variables of the vector-field of the dynamical system. The multiple shooting method is employed in computing limit cycles numerically, and is modified for systems with discontinuities. The theory is supported by numerous examples, mainly from the field of nonlinear vibrations. The text addresses mathematicians interested in engineering problems as well as engineers working with nonlinear dynamics.