Perfect Lattices in Euclidean Spaces

شبکه‌ها زیرگروه‌های مجزا با حداکثر رتبه در فضای اقلیدسی هستند. به هر یک از این شی هندسی، ما می توانیم یک بسته بندی کره متعارف را وصل کنیم که با فرض کمی نظم، چگالی دارد. سوال تخمین بالاترین چگالی ممکن یک کره در یک بعد معین یک مسئله جذاب و دشوار است: پاسخ آن فقط تا بعد 3 مشخص است.

این کتاب به این ترتیب یک مسئله زیبا و مرکزی را در ریاضیات، که شامل هندسه، نظریه اعداد، نظریه کدگذاری و نظریه گروه است، با تمرکز بر مطالعه شبکه های افراطی، یعنی شبکه هایی که چگالی در آنها به حداکثر محلی می رسد، و به اصطلاح ویژگی کمال.

این کتاب که توسط یک رهبر در این زمینه نوشته شده است، با کتاب کلاسیک جی.اچ. کانوی و N.J.A. Sloane، Sphere Packings، Lattices and Groups، منتشر شده در همان مجموعه جلد. 290.

هر فصل به جز فصل اول و آخر شامل تمرین های متعددی است. برای سادگی، آن فصل‌هایی که شامل روش‌های محاسباتی سنگین است، تنها تمرین‌های کمی دارند. این شامل ضمائم مربوط به جبرهای نیمه ساده و کواترنیون ها و شبکه های کاملاً کامل است.

Lattices are discrete subgroups of maximal rank in a Euclidean space. To each such geometrical object, we can attach a canonical sphere packing which, assuming some regularity, has a density. The question of estimating the highest possible density of a sphere packing in a given dimension is a fascinating and difficult problem: the answer is known only up to dimension 3.

This book thus discusses a beautiful and central problem in mathematics, which involves geometry, number theory, coding theory and group theory, centering on the study of extreme lattices, i.e. those on which the density attains a local maximum, and on the so-called perfection property.

Written by a leader in the field, it is closely related to, though disjoint in content from, the classic book by J.H. Conway and N.J.A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, published in the same series as vol. 290.

Every chapter except the first and the last contains numerous exercises. For simplicity those chapters involving heavy computational methods contain only few exercises. It includes appendices on Semi-Simple Algebras and Quaternions and Strongly Perfect Lattices.