Percolation Theory for Mathematicians

جدا از این واقعیت که نظریه نفوذ در یک مسئله کاربردی صادقانه نقش دارد (به هامرسلی و ولز (1980) مراجعه کنید)، منبعی از مسائل جذاب از بهترین نوع مسائلی است که یک ریاضیدان می تواند آرزو کند: مسائلی که آسان هستند. با حداقل آمادگی بیان شود، اما راه حل های آن (ظاهراً) دشوار است و به روش های جدید نیاز دارد. در عین حال بسیاری از مسائل مورد توجه یا پیشنهاد فیزیکدانان آماری هستند و صرفاً برای نبوغ شیاطین تصور نمی‌شوند. پیشرفت در این زمینه کند بوده است. نتایج نسبتا کمی با دقت ثابت شده‌اند، علی‌رغم ادبیات رو به رشد سریع با تغییرات و توسعه‌های مدل پایه، حدس‌ها، استدلال‌های قابل قبول و نتایج شبیه‌سازی‌ها. هدف من این است که در اینجا برخی از نتایج اساسی را با شواهد دقیق بررسی کنم. این در وهله اول یک تک نگاری پژوهشی است، اما پیش نیازهای کمی وجود دارد. یک ترم از هر دوره تحصیلات تکمیلی استاندارد به احتمال زیاد باید بیش از اندازه کافی باشد. بسیاری از مطالب کاملاً جدید یا جدید هستند و بسیاری از شواهد هنوز ناشیانه هستند. به‌ویژه تلاش برای ارائه اثبات‌های معتبر برای هر چه بیشتر نمودارها منجر به پیچیدگی‌های بیشتر از حد انتظار شد. امیدوارم برنامه‌ها و مثال‌ها توجیهی برای رفتن به این سطح از عمومیت داشته باشند.

Quite apart from the fact that percolation theory had its orlgln in an honest applied problem (see Hammersley and Welsh (1980)), it is a source of fascinating problems of the best kind a mathematician can wish for: problems which are easy to state with a minimum of preparation, but whose solutions are (apparently) difficult and require new methods. At the same time many of the problems are of interest to or proposed by statistical physicists and not dreamt up merely to demons~te ingenuity. Progress in the field has been slow. Relatively few results have been established rigorously, despite the rapidly growing literature with variations and extensions of the basic model, conjectures, plausibility arguments and results of simulations. It is my aim to treat here some basic results with rigorous proofs. This is in the first place a research monograph, but there are few prerequisites; one term of any standard graduate course in probability should be more than enough. Much of the material is quite recent or new, and many of the proofs are still clumsy. Especially the attempt to give proofs valid for as many graphs as possible led to more complications than expected. I hope that the Applications and Examples provide justifi­ cation for going to this level of generality.