PDE and Martingale Methods in Option Pricing

این کتاب مقدمه ای بر روش های ریاضی، احتمالی و عددی مورد استفاده در تئوری مدرن قیمت گذاری اختیار ارائه می دهد. متن برای خوانندگان با پیشینه ریاضی پایه طراحی شده است. بخش اول شامل ارائه نظریه آربیتراژ در زمان گسسته است. در بخش دوم، تئوری‌های حساب تصادفی و PDEهای سهمی به تفصیل توسعه داده شده و نظریه آربیتراژ کلاسیک در یک محیط مارکویی با استفاده از تکنیک‌های PDEs تحلیل می‌شود. پس از ارائه قضایای نمایش مارتینگل و نظریه گیرسانوف، قیمت گذاری آربیتراژ در اپتیک تئوری مارتینگل مورد بازبینی قرار می گیرد. ابزارهای عمومی از PDE و نظریه‌های مارتینگل نیز در تحلیل مدل‌سازی نوسانات استفاده می‌شوند. این کتاب همچنین شامل مقدمه ای بر فرآیندهای Lévy و حساب مالیاوین است. بخش آخر به شرح روش های عددی مورد استفاده در قیمت گذاری گزینه اختصاص دارد: مونت کارلو، درختان دوجمله ای، تفاوت های محدود و تبدیل فوریه.

This book offers an introduction to the mathematical, probabilistic and numerical methods used in the modern theory of option pricing. The text is designed for readers with a basic mathematical background. The first part contains a presentation of the arbitrage theory in discrete time. In the second part, the theories of stochastic calculus and parabolic PDEs are developed in detail and the classical arbitrage theory is analyzed in a Markovian setting by means of of PDEs techniques. After the martingale representation theorems and the Girsanov theory have been presented, arbitrage pricing is revisited in the martingale theory optics. General tools from PDE and martingale theories are also used in the analysis of volatility modeling. The book also contains an Introduction to Lévy processes and Malliavin calculus. The last part is devoted to the description of the numerical methods used in option pricing: Monte Carlo, binomial trees, finite differences and Fourier transform.